Răspuns:
Pentru a determina vârfurile pătratului și ecuațiile laturilor acestuia, putem folosi informațiile despre ecuațiile laturilor și despre ecuația diagonalei.
1. **Determinarea vârfurilor pătratului:**
- Folosim ecuațiile datelor pentru a găsi punctele de intersecție ale laturilor.
- Ecuatia laturii: \( x + 5y - 17 = 0 \) și \( 5x - y - 7 = 0 \)
- Rezolvăm sistemul:
\[
\begin{cases}
x + 5y - 17 = 0 \quad (1) \\
5x - y - 7 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]
- Multiplicăm ecuația (1) cu 5 și adunăm la ecuația (2):
\[
\begin{cases}
5x + 25y - 85 = 0 \quad (3) \\
5x - y - 7 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]
- Adunăm ecuațiile (2) și (3) pentru a elimina \( x \):
\[
26y - 92 = 0 \Rightarrow y = \frac{92}{26} = 4
\]
- Înlocuim \( y \) în ecuația (1) sau (2) pentru a găsi \( x \):
\[
x + 5(4) - 17 = 0 \Rightarrow x = 17 - 20 = -3
\]
- Deci, primul vârf al pătratului este \( A(-3, 4) \).
2. **Determinarea celorlalte vârfuri:**
- Pătratul are simetrie față de diagonala sa, deci celălalt vârf opus lui \( A \) va fi \( C \), cu coordonatele inversate: \( C(4, -3) \).
- Celelalte două vârfuri vor fi mijloacele celor două diagonale ale pătratului. Deoarece avem ecuația diagonalei \( 2x - 3y + 5 = 0 \), putem folosi formula pentru mijlocul unui segment între două puncte pentru a găsi mijlocul diagonalei, apoi să determinăm celelalte două vârfuri.
- Mijlocul diagonalei: \( M(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}) \)
- Ecuația mediatoarei este perpendiculară pe diagonala și trece prin mijlocul ei. Astfel, avem:
- Panta mediatoarei este inversa opusă pantei diagonalei, adică \( -\frac{3}{2} \).
- Ecuația mediatoarei: \( y - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}(x - \frac{3}{2}) \)
- Simplificăm și obținem ecuația mediatoarei: \( 3x + 2y - 4 = 0 \)
- Determinăm punctele de intersecție ale mediatoarei cu cele două laturi date pentru a găsi celelalte două vârfuri.
- Pentru ecuația mediatoarei și \( x + 5y - 17 = 0 \):
\[
\begin{cases}
3x + 2y - 4 = 0 \quad (4) \\
x + 5y - 17 = 0 \quad (1)
\end{cases}
\]
- Multiplicăm ecuația (1) cu 3 și o adunăm la ecuația (4):
\[
\begin{cases}
3x + 2y - 4 = 0 \quad (4) \\
3x + 15y - 51 = 0 \quad (1)
\end{cases}
\]
- Scădem ecuația (4) din ecuația (1) pentru a elimina \( x \):
\[
13y - 47 = 0 \Rightarrow y = \frac{47}{13}
\]
- Înlocuim \( y \) în ecuația (1) sau (4) pentru a găsi \( x \):
\[
x + 5\left(\frac{47}{13}\right) - 17 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{13}
\]
- Deci, al doilea vârf al pătratului este \( B\left(-\frac{8}{13}, \frac{47}{13}\right) \).
- Pentru ecuația mediatoarei și \( 5x - y - 7 = 0 \):
\[
\begin{cases}
3x + 2y - 4 = 0 \quad (4) \\
5x - y - 7 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]
- Multiplicăm ecuația (2) cu 3 și o adunăm la ecuația (4):
\[
\begin{cases}
3x + 2y - 4 = 0 \quad (4) \\
15x - 3y - 21 = 0 \quad (2)
\end{cases}
\]
- Adunăm ecuațiile (2) și (4) pentru a elimina \( y \):
\[
18x - 25 = 0 \Rightarrow x = \frac{25}{18}
\]
- Înlocuim \( x \) în ecuația (2) sau (4) pentru a găsi \( y \):
\[
5\left(\frac{25}{18}\right) - y - 7 = 0 \Rightarrow y = \frac{65}{18}
\]
- Deci, al treilea vârf al pătratului este \( D\left(\frac{25}{18}, \frac{65}{18}\right) \).
3. **Ecuațiile laturilor pătratului:**
- Avem deja ecuațiile a două laturi: \( x + 5y - 17 = 0 \) și \( 5x - y -
