Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol {\red{50\sqrt{2} \ cm^2}}[/tex]
[tex](b) \boldsymbol {\red{min(AS+ST+TM) > 30 \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Un cub are 12 muchii egale. Lungimea unei muchii este:
[tex]AB = 120:12 = 10 \ cm[/tex]
a) A'B, BC' și A'D' sunt diagonalele fețelor, deci sunt congruente A'B≡BC'≡A'D', iar ∆A'BC' este echilateral
[tex]A'B = \ell \sqrt{2} = AB \sqrt{2} = 10 \sqrt{2} \ cm \\ [/tex]
Aria ∆A'BC' este:
[tex]\mathcal {A}_{\Delta A'BC'} = \dfrac{ \ell^2\sqrt {3}}{4} = \dfrac{A'B^2\sqrt {3}}{4} = \dfrac{(10 \sqrt{2})^2\sqrt {3}}{4} = \dfrac{200\sqrt {3}}{4} = \\ [/tex]
[tex] = \bf 50 \sqrt{3} \ {cm}^{2}[/tex]
b) Considerăm desfășurarea în plan a cubului. Valoarea minimă a sumei AS+ST+TM se realizează atunci când punctele A, S, T, M sunt coliniare.
DM = DD':2 = 10:2 = 5 cm
AD = AB+BC+CD = 3×10 = 30 cm
În ∆ADM, AM este ipotenuza și este cea mai mare latură, deci AM > AD, adică AM > 30 cm
Așadar, valoarea minimă a sumei AS+ST+TM este mai mare decât 30 cm.
[tex]q.e.d.[/tex]
