Răspuns:
[tex](a)\boldsymbol {\red{2}};(b) \boldsymbol {\red{x \in \{ - 3;1;3 \}}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
[tex]a) \ E(x) = \bigg(\dfrac {1}{1^2+1}+\dfrac{1}{1^2+3\cdot1+2}\bigg) \cdot \dfrac{1^2+5 \cdot1+6}{4} \\ [/tex]
[tex]= \bigg(\dfrac {1}{2}+\dfrac{1}{6}\bigg) \cdot \dfrac{12}{4} = \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{12}{4} = \bf 2[/tex]
[tex]b) \ E(x) = \bigg(\dfrac {1}{x^2+x}+\dfrac{1}{x^2+3\cdot x+2}\bigg) \cdot \dfrac{x^2+5 \cdot x+6}{4} \\ [/tex]
[tex]= \bigg(\dfrac {1}{x(x + 1)}+\dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)}\bigg) \cdot \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{4} \\ [/tex]
[tex]= \dfrac {x + 2 + x}{x(x + 1)(x + 2)} \cdot \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{4} \\ [/tex]
[tex]= \dfrac {2(x + 1)}{x(x + 1)(x + 2)} \cdot \dfrac{(x + 2)(x + 3)}{4} = \dfrac {1}{x} \cdot \dfrac{x + 3}{2} \\[/tex]
[tex]= \dfrac{x + 3}{2x}[/tex]
E(n) este număr întreg numai dacă 2x este divizor întreg al lui (x + 3) și 2x ≤ x + 3 ⇒ x ≤ 3
Conform principiului parității, dacă 3 este impar, atunci și x este impar.
Știm că x ≠ -1, deci x este număr întreg impar diferit de -1
x = -3, x = 1, x = 3
