Răspuns:
Fie a, b și c lungimile laturilor triunghiului isoscel ABC, unde baza BC are lungimea b.
Având în vedere că perimetrul triunghiului este egal cu 48 cm, putem scrie ecuația:
a + b + c = 48
De asemenea, știm că înălțimea BD are lungimea 9 cm, iar punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB și AC.
Pentru a determina lungimea segmentului AD, putem folosi relația de asemenea triunghiuri:
AM/AB = AD/AC
Știm că AM este jumătatea lui AB, deci AM = AB/2. La fel, știm că AC este jumătatea lui BC, deci AC = BC/2.
Substituind în relația de asemenea triunghiuri, obținem:
(AB/2)/AB = AD/(BC/2)
Simplificând, avem:
1/2 = AD/(BC/2)
Putem rezolva pentru AD:
AD = (1/2) * (BC/2)
AD = BC/4
Deoarece triunghiul ABC este isoscel, putem deduce că segmentele AD și BD sunt egale. Prin urmare, lungimea segmentului AD este egală cu 9 cm.
Pentru a demonstra că triunghiul ADB este dreptunghic, putem folosi teorema lui Pitagora. Având în vedere că BD este înălțimea triunghiului dreptunghic ADB, iar AD și AB sunt egale, putem aplica teorema lui Pitagora:
AD^2 + BD^2 = AB^2
9^2 + 9^2 = AB^2
81 + 81 = AB^2
162 = AB^2
AB = sqrt(162)
AB = 9 * sqrt(2)
Astfel, am demonstrat că triunghiul ADB este dreptunghic.
