👤
SOFIAB65927368ID
a fost răspuns

Calculati: S1=5+10+15+...+100. S2=3+5+7+....+191. S3=4^1+4^2+4^3+...+4^100. S4=5^1+5^2+5^3+...+5^40. Ofer 50 pct si coroana răspunsuri la mișto=raport,nu vreau direct răspunsul(vr si rezolvarea)​

Răspuns :

ANDYILYEID

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{ \red{S_1 = 1050; \ S_2 = 9215; \ S_3 = \dfrac{4^{101} - 4}{3}; \ S_4 = \dfrac{5^{41} - 5}{4} }}[/tex]

Explicație pas cu pas:

Sume Gauss

[tex]S_1=5+10+15+...+100 = 5(1+2+3+...+20) = 5 \cdot 20 \cdot (20 + 1) : 2 =\\[/tex]

[tex]= 100 \cdot 21 : 2 = \bf 1050[/tex]

[tex]\boldsymbol{ \red{\star \star \star}}[/tex]

[tex]S_2 = 3 + 5 + 7 + ... + 191 = (1 + 2 \cdot 1) + (1 + 2\cdot 2) + (1 + 2 \cdot 3) + ... + (1 + 2 \cdot 95) = \\[/tex]

[tex]= (\underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1}_{95}) + 2 \cdot (1 + 2 + 3 + ... + 95) = 95 + 2 \cdot 95 \cdot (95 + 1) : 2 \\[/tex]

[tex]= 95 + 95 \cdot 96 = 95 + 9120 = \bf 9215\\[/tex]

sau:

[tex]S_2 = 3 + 5 + 7 + ... + 191 = \underbrace{1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2 \cdot 96 - 1)} - 1 = 96^2 - 1 = 9216 - 1 = \bf 9215[/tex]

[tex]\boldsymbol{ \red{\star \star \star}}[/tex]

Determinăm forma cea mai scurtă a sumei astfel:

  • înmulțim cu 4

[tex]S_3 = 4^1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{100} \ \big|\cdot4[/tex]

  • adunăm 4

[tex]4 \cdot S_3 = 4^2 + 4^3 + 4^{4} + ... + 4^{100} + 4^{101} \ \big| + 4\\[/tex]

  • observăm că în membrul drept am obținut suma inițială S₃

[tex]4 \cdot S_3 + 4 = \underbrace{4 + 4^2 + 4^3 + 4^{4} + ... + 4^{100}}_{S_3} + 4^{101}\\[/tex]

  • grupăm termenii și determinăm forma finală:

[tex]4 \cdot S_3 + 4 = S_3 + 4^{101} \Rightarrow 3 \cdot S_3 = 4^{101} - 4\\[/tex]

[tex]\Rightarrow \boldsymbol {S_3 = \dfrac{4^{101} - 4}{3}}[/tex]

[tex]\boldsymbol{ \red{\star \star \star}}[/tex]

[tex]S_4 = 5^1+5^2+5^3+...+5^40 \ \big| \cdot 5\\[/tex]

[tex]5 \cdot S_4 = 5^2+5^3+5^1+...+5^{40}+5^{41} \ \big| +5\\[/tex]

[tex]5 \cdot S_4 + 5 = \underbrace{5^1+5^2+5^3+5^1+...+5^{40}}_{S_4}+5^{41}\\[/tex]

[tex]5 \cdot S_4 + 5 = S_4 + 5^{41} \Rightarrow 4 \cdot S_4 = 5^{41} - 5\\[/tex]

[tex]\Rightarrow \boldsymbol {S_4 = \dfrac{5^{41} - 5}{4}}[/tex]

✍ Reținem:

[tex]\boxed {\boldsymbol{1 + 2 + 3 + ... + n = n \cdot (n + 1) : 2}}[/tex]

[tex]\boxed{\boldsymbol{ 1 + 3+ 5 + ... + (2n - 1) = {n}^{2}}}[/tex]

O temă similară https://brainly.ro/tema/10782952

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari