Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{D = \{-19,-12,-7,-6,-4,-3,2,9\}}}\\[/tex]
[tex](b)\boldsymbol{ \red{41}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
[tex]a) \ D = \bigg\{x \in Z \bigg| \dfrac{14x}{x+5} \in Z\bigg\}[/tex]
Fracția este număr întreg numai dacă (x+5) este divizor întreg al lui 14. Divizorii întregi ai lui 14 sunt: ±1, ±2, ±7, ±14. Astfel:
[tex](x+5) \in \{-14,-7,-2,-1,1,2,7,14\} \ \ \big|-5[/tex]
[tex]x \in \{-19,-12,-7,-6,-4,-3,2,9\}[/tex]
[tex]\Rightarrow D = \{-19,-12,-7,-6,-4,-3,2,9\}\\[/tex]
b) Șirul conține numere negative, pe 0 și numere pozitive. Când adunăm numere consecutive negative și pozitive, numerele opuse se anulează (suma a două numere opuse este 0). Știm că numerele pozitive sunt cu două mai multe decât negative, așadar suma acestor două numere pozitive este 41:
[tex]x+(x+1) = 41 \Rightarrow 2x=40 \Rightarrow x=20 \\[/tex]
[tex]\Rightarrow x+1=21[/tex]
⇒ ultimele două numere din șir sunt 20 și 21, iar șirul începe de la -19 (numerele de la -19 la 19 se anulează)
[tex](-19)+(-18)+...+(-1)+0+1+...+18+19+20+21=\\[/tex]
[tex]= (-19+19)+(-18+18)+...+(-1+1)+0+20+21\\[/tex]
[tex]= 0+0+...0.+20+21 = \bf 41\\[/tex]
În șir sunt: 21 - (-19) + 1 = 40 + 1 = 41 numere
(19 numere negative, numărul 0 și 21 de numere pozitive, adică 19 + 1 + 21 = 41)
