Răspuns:
a) Pentru a demonstra că x*y = (x-2)(y-2) + 2, vom simplifica expresia x*y și vom verifica dacă este egală cu (x-2)(y-2) + 2.
x*y = xy - 2x - 2y + 6
Acum, vom încerca să simplificăm expresia:
x*y = xy - 2x - 2y + 6
= (xy - 2x - 2y + 4) + 2
= (x-2)(y-2) + 2
Deci, am demonstrat că x*y = (x-2)(y-2) + 2.
b) Pentru a determina numerele reale pentru care x*(2x) = 14, vom rezolva ecuația:
x*(2x) = 14
Vom începe prin simplificarea expresiei:
2x^2 = 14
Apoi, vom aduce ecuația la forma standard a unei ecuații de gradul doi:
2x^2 - 14 = 0
Putem împărți ecuația la 2 pentru a simplifica:
x^2 - 7 = 0
Acum, putem rezolva ecuația folosind metoda factorizării:
(x - √7)(x + √7) = 0
Astfel, avem două soluții:
x - √7 = 0 => x = √7
x + √7 = 0 => x = -√7
Deci, numerele reale pentru care x*(2x) = 14 sunt x = √7 și x = -√7.
c) Pentru a calcula 1*2*3*...*99*100, vom înmulți toate numerele împreună în ordine:
1 * 2 * 3 * ... * 99 * 100
Pentru a simplifica calculul, putem folosi proprietatea comutativă a înmulțirii și grupa numerele în perechi:
(1 * 100) * (2 * 99) * (3 * 98) *
