Rezolvare:
a) Demonstrați ca funcția f are un singur punct de extrem local
1. Calculăm prima derivată
[tex]\boxed{\boldsymbol{ \bigg(\dfrac{f}{g} \bigg)' = \dfrac{f' \cdot g - g' \cdot f}{g^{2} }}}[/tex]
[tex]f'(x) = \dfrac{(m - \ln x)' \cdot x - (m - \ln x) \cdot x'}{x^2}[/tex]
Derivăm (m - ln x)' și x'
[tex]\boxed{ \boldsymbol{(\ln x)' = \dfrac{1}{x} }, \ \ \boldsymbol{x' =1}, \ \ \boldsymbol{c' =0} }[/tex]
[tex](m - \ln x)' = m' - (\ln x)' = 0 - \dfrac{1}{x} = - \dfrac{1}{x}[/tex]
[tex]x' = 1[/tex]
Astfel:
[tex]f'(x) = \dfrac{\left(-\dfrac{1}{x}\right) \cdot x - (m - \ln x) \cdot 1}{x^2} = \dfrac{-1 - (m - \ln x)}{x^2} = \dfrac{\ln x - m - 1}{x^2}[/tex]
2. Determinăm punctele critice. Punctele critice sunt date de soluțiile ecuației f'(x) = 0:
[tex]\dfrac{\ln x - m - 1}{x^2} = 0[/tex]
De unde
[tex]\ln x - m - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = m + 1 \Rightarrow x = e^{m+1}[/tex]
Deci, singurul punct critic este:
[tex]x_0 = e^{m+1}[/tex]
3. Calculăm a doua derivată
[tex]f''(x) = (f'(x))' = \bigg(\dfrac{\ln x - m - 1}{x^2}\bigg)'[/tex]
[tex]f''(x) = \dfrac{(\ln x - m - 1)' \cdot x^2 - (\ln x - m - 1) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}[/tex]
Derivăm:
[tex](\ln x - m - 1)' = (\ln x)' - m' - 1' = \dfrac{1}{x} - 0 - 0 = \dfrac{1}{x}[/tex]
[tex]\boxed{\boldsymbol{(x^n)' = n \cdot x^{n - 1} }}[/tex]
[tex](x^2)' = 2 \cdot x^{2 - 1} = 2x[/tex]
Deci:
[tex]f''(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x - m - 1) \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{x - 2x(\ln x - m - 1)}{x^4} = \\[/tex]
[tex]= \dfrac{x - 2x\ln x + 2x(m + 1)}{x^4} = \dfrac{3x + 2xm - 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{x(3 + 2m - 2\ln x)}{x^4}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{3 + 2m - 2\ln x}{x^3}[/tex]
Calculăm pentru [tex]x_0 = e^{m+1}[/tex]:
[tex]f''(e^{m+1}) = \dfrac{3 + 2m - 2\ln(e^{m+1})}{(e^{m+1})^3} = \dfrac{3 + 2m - 2(m+1)}{e^{3(m+1)}} = \\[/tex]
[tex]= \dfrac{3 + 2m - 2m - 2}{e^{3(m+1)}} = \dfrac{1}{e^{3(m+1)}} > 0[/tex]
Deoarece f''(x) > 0, punctul [tex]x_0 = e^{m+1}[/tex] este un minim local. Deci funcția f are un singur punct de extrem local, care este un minim local.
b) Determinați valorile lui m astfel încât f(x) ≥ -1, ∀ x∈(0, +∞)
[tex]f(x) \geq -1 \Rightarrow \dfrac{m - \ln x}{x} \geq -1[/tex]
[tex]\dfrac{m - \ln x}{x} + 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{m - \ln x + x}{x} \geq 0\\[/tex]
[tex]x > 0 \Rightarrow m - \ln x + x \geq 0 \Rightarrow m + x \geq \ln x\\[/tex]
Deoarece
[tex]x \geq \ln x, \ \ \forall x \in (0,+\infty)[/tex]
[tex]\Rightarrow m \geq \ln x - x[/tex]
Trebuie să găsim valoarea maximă a funcției g(x) = (ln x - x) pe intervalul (0, +∞). Aceasta se atinge când prima derivată este zero:
[tex]g'(x) = (\ln x - x)' = (\ln x)' - x' = \dfrac{1}{x} - 1[/tex]
[tex]g'(x) = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x} - 1 = 0 \implies x = 1[/tex]
[tex]g(1) = \ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1[/tex]
⇒ valoarea maximă a funcției (ln x - x) este -1
⇒ m ≥ -1 ⇒ m ∈[-1; +∞)
