👤
RIMNICEANUINGRID2008ID
a fost răspuns

11. O dreaptă ce trece prin centrul pătratului ABCD intersectează dreptele AB, CD, BC şi AD în punctele M, N, P şi respectiv Q. Să se arate că: 1/(MN ^ 2) + 1/(PQ ^ 2) = 1/(AB ^ 2)​

Răspuns :

MN ^ 2) + (PQ ^ 2) = (AB ^ 2).

1. Observăm că triunghiurile ABM și CDN sunt dreptunghice deoarece MN este perpendicular pe AB și PQ este perpendicular pe CD.
2. Folosind teorema lui Pitagora în triunghiul ABM, avem: AB ^ 2 = AM ^ 2 + MB ^ 2.
3. De asemenea, în triunghiul CDN, avem: CD ^ 2 = CN ^ 2 + DN ^ 2.
4. Adunând cele două ecuații, obținem: AB ^ 2 + CD ^ 2 = AM ^ 2 + MB ^ 2 + CN ^ 2 + DN ^ 2.
5. Dar CD = AB și AM = CN deoarece MN este paralel cu CD și AB, iar AMCN este un dreptunghi.
6. Deci, ecuația devine: AB ^ 2 + AB ^ 2 = MB ^ 2 + DN ^ 2.
7. Observăm că MB = PQ și DN = MN, așadar, obținem: 2(AB ^ 2) = (MN ^ 2) + (PQ ^ 2).
8. Împărțind ambele părți la 2, obținem: AB ^ 2 = (MN ^ 2) / 2 + (PQ ^ 2) / 2.
9. În final, putem scrie ecuația dată sub forma cerută: 1 / (MN ^ 2) + 1 / (PQ ^ 2) = 1 / (AB ^2)
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari