Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{S = [-2;5)\setminus\{-1;1\}}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Valoarea modulului este un număr pozitiv, mai mare sau egal cu zero.
a) Aflăm zerourile. Prima inecuație: rezolvăm ecuația de gradul 2 atașată
x² - x - 20 = 0
Δ = 1 + 80 = 81 ⇒ x₁ = (1-9)/2 = -4, x₂ = (1+9)/2 = 5
|x| + 2 = 0 ⇒ |x| = -2, dar |x| ≥ 0 ⇒ x ∈ ∅ ⇒ |x| + 2 este pozitivă ∀x∈R
Tabel de semn:
[tex]\begin{vmatrix}x & -\infty & & -4 & & 5 & & +\infty \\ \\x^2-x-20 & + & + & 0 & - & 0 & + & + \\ \\|x|+2 & + & + & + & + & + & + & + \\ \\ \dfrac{x^2-x-20}{|x|+2} & + & + & 0 & - & 0 & + & + \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\bf x \in (-4; 5)[/tex]
A doua inecuație:
x + 2 = 0⇒ x = -2
|x² - 1| = 0 ⇒ x² - 1 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1
[tex]\begin{vmatrix}x & -\infty & & -2 & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \\x+2 & - & - & 0 & + & + & + & + & + & + \\ \\|x^2-1| & + & + & + & + & 0 & + & 0 & + & + \\ \\ \dfrac{x+2}{|x^2-1|} & - & - & 0 & + & | & + & | & + & + \end{vmatrix}[/tex]
[tex]\bf x \in [-2;+\infty)\setminus\{-1;1\}[/tex]
Soluția sistemului o aflăm din intersecția celor două soluții determinate:
[tex]-\infty.....(-4...[\underline{-2...-1...1...5})...+\infty\\[/tex]
[tex]x \in (-4; 5) \cap \Big([-2;+\infty)\setminus\{-1;1\}\Big)\\[/tex]
[tex]\implies \boldsymbol{ S = [-2;5)\setminus\{-1;1\}}[/tex]
