Răspuns:
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să demonstrăm două lucruri:
a) Trebuie să arătăm că A este pătratul unui număr natural pentru orice n = N.
b) Trebuie să demonstrăm că 28 divide A, adică A este divizibil cu 28, pentru orice număr natural n.
Pentru a) pentru a arăta că A este pătratul unui număr natural, putem observa că A este de forma (6*2^n + 1*8^n)^2. Putem scrie A sub forma (6*2^n + 1*8^n)^2 = 36*4^n + 12*2^n*8^n + 64^n. Această expresie este pătratul lui (6*2^n + 1*8^n), deci A este pătratul unui număr natural pentru orice n ∈ N.
Pentru b) pentru a demonstra că 28 divide A, putem observa că A este de forma A = 36*4^n + 12*2^n*8^n + 64^n. Putem să descompunem această expresie în termeni care sunt multipli de 28. Putem observa că 36 și 64 sunt deja multipli de 28, iar 12*2^n*8^n poate fi scris ca 4*3*2^n*8^n = 4*24*2^n*8^n = 4*28*2^n. Prin urmare, toți termenii din A sunt multipli de 28, ceea ce înseamnă că A este divizibil cu 28 pentru orice număr natural n.
Astfel, am demonstrat că A este pătratul unui număr natural pentru orice n ∈ N și că A este divizibil cu 28 pentru orice număr natural n.
