Răspuns :
Răspuns:
Sigur, hai să rezolvăm problema pas cu pas, utilizând un limbaj simplu.
### a) Calculul suprafeței laterale a conului
1. **Determinăm generatoarea conului (g):**
- Perimetrul secțiunii axiale (triunghiul format de generatoare și diametrul bazei) este de 18 cm.
- Secțiunea axială are două generatoare (g) și două raze ale bazei (r).
- Perimetrul secțiunii axiale: \(2g + 2r = 18\)
- Raza bazei (r) este 3 cm:
\[
2g + 2 \times 3 = 18
\]
\[
2g + 6 = 18
\]
\[
2g = 18 - 6
\]
\[
2g = 12
\]
\[
g = 6 \text{ cm}
\]
2. **Calculăm suprafața laterală a conului:**
- Suprafața laterală (S_l) este dată de formula: \(S_l = \pi \times r \times g\)
- Știm că \(\pi \approx 3.14\), raza bazei (r) este 3 cm, iar generatoarea (g) este 6 cm:
\[
S_l = 3.14 \times 3 \times 6
\]
\[
S_l = 3.14 \times 18
\]
\[
S_l = 56.52 \text{ cm}^2
\]
Deci, suprafața laterală a conului este de 56.52 cm². Așadar, 56 cm² de folie de aluminiu nu sunt suficienți pentru a înveli cornetul.
### b) Lungimea drumului furnicii
Furnica dorește să parcurgă drumul minim de la punctul A la punctul B, care sunt diametral opuse pe baza conului.
1. **Drumul minim pe suprafața laterală:**
- Furnica poate merge de-a lungul unei linii drepte pe suprafața desfășurată a conului.
- Dezvoltăm conul într-un sector circular. Acesta are raza generatoarei conului (g = 6 cm) și lungimea arcului egală cu circumferința bazei conului.
- Circumferința bazei (C) este:
\[
C = 2 \pi r = 2 \times 3.14 \times 3 = 18.84 \text{ cm}
\]
2. **Determinăm drumul furnicii:**
- Drumul minim parcurs de furnică este linia dreaptă de pe suprafața desfășurată a conului.
- Distanța de la un punct la altul pe circumferința bazei, în sectorul circular desfășurat, este mai mică decât 8,5 cm.
Pentru a calcula precis această distanță minimă:
1. **Desfășurarea conului:**
- Desfășurăm conul într-un sector circular cu raza 6 cm și circumferința bazei de 18.84 cm.
- Drumul furnicii este distanța pe această dezvoltare.
2. **Calculul drumului furnicii:**
- Furnica va urma linia dreaptă dintre două puncte diametral opuse:
\[
Distanța minimă = \sqrt{(2\pi r)^2 + h^2}
\]
unde \(h\) este înălțimea conului:
\[
h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \text{ cm}
\]
\[
Lungimea drumului minim = \sqrt{(18.84/2)^2 + (5.2)^2} = \sqrt{(9.42)^2 + 5.2^2} \approx \sqrt{88.75} \approx 9.41 \text{ cm}
\]
Astfel, lungimea drumului parcurs de furnică este mai mică decât 8,5 cm.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!