Răspuns:
[tex]\boldsymbol{ \red{ 216 \ cm^2}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Se utilizează proprietățile ariei determinate de segmente proporționale și ale centrului de greutate.
BD este diagonala paralelogramului și îl împarte în două triunghiuri de arii egale:
[tex]\mathcal{A}_{\Delta ADB} = \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{A}_{ABCD}[/tex]
Punctele M și N împart segmentul AB în trei părți egale:
[tex]AM = MN = NB \Rightarrow AM = \dfrac{1}{3} \cdot AB \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \mathcal{A}_{\Delta ADM} = \dfrac{1}{3} \cdot \mathcal{A}_{\Delta ADB} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{6} \cdot \mathcal{A}_{ABCD}\\[/tex]
P este mijlocul DN și M este mijlocul AN ⇒ AP și DM sunt mediane în ΔADN ⇒ I este centru de greutate
[tex]IM = \dfrac{1}{3} \cdot DM \Rightarrow \mathcal{A}_{\Delta MAI} = \dfrac{1}{3} \cdot \mathcal{A}_{\Delta ADM} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{1}{18} \cdot \mathcal{A}_{ABCD}\\[/tex]
[tex]\Rightarrow \mathcal{A}_{ABCD} = 18 \cdot \mathcal{A}_{\Delta MAI} = 18 \cdot 12 = 216 \ cm^2[/tex]
