Răspuns:
[tex](a) \boldsymbol{ \red{ A'B' = 10 \ cm}}, \ (b) \boldsymbol{ \red{450\sqrt{15} \ cm^2 }} , \ (c) \boldsymbol{ \red{20\sqrt{3} \ cm}}[/tex]
Explicație pas cu pas:
ABCDEFA'B'C'D'E'F' trunchi de piramidă hexagonală regulată, AB = AA' = 20 cm, ∡(AD', (ABC)) = 30°
a) Secțiunea axială este un trapez isoscel, cu bazele A'D' și AD, laturile neparalele AA' = DD' = 20 cm, O'D' = A'B', AO = OD = AB = 20 cm
Construim înălțimea trunchiului D'N⊥(ABC) ⇒ D'N⊥AD, N∈AD ⇒ ON = A'B' și DN = OD - ON = 20 - A'B'
Din ∡(AD', (ABC)) = 30° și D'N⊥AD ⇒ ∡D'AN = 30°
ΔAND' ~ ΔD'ND (criteriul U.U.) ⇒ ∡DD'N = 30°
[tex]\sin \widehat{DD'N} = \dfrac{DN}{DD'} \Rightarrow \sin 30^{\circ} = \dfrac{20-A'B'}{20} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{20-A'B'}{20} \Rightarrow 2A'B' = 20\\[/tex]
⇒ A'B' = 10 cm
b) Construim B'M⊥AB, M∈AM ⇒ B'M este apotema trunchiului de piramidă
[tex]BM = \dfrac{AB - A'B'}{2} = \dfrac{20-10}{2} = 5 \ cm[/tex]
[tex]B'M = \sqrt{BB'^2-BM^2} = \sqrt{20^2-5^2} = 5\sqrt{15} \ cm\\[/tex]
Aria laterală:
[tex]\mathcal{A}_{\ell} = \dfrac{(\mathcal{P}_{B} + \mathcal{P}_{b}) \cdot a_t}{2} = \dfrac{(6 \cdot AB + 6 \cdot A'B') \cdot B'M}{2} = \\[/tex]
[tex]= \dfrac{(6 \cdot 20 + 6 \cdot 10) \cdot 5\sqrt{15}}{2} = \bf 450\sqrt{15} \ cm^2\\[/tex]
c) Considerăm piramida din care provine trunchiul, de înălțime VO și baza ABCDEF. Înălțimea trunchiului de piramidă este D'N = O'O
[tex]\cos \widehat{DD'N} = \dfrac{D'N}{DD'} \Rightarrow D'N = 20 \cdot \cos 30^{\circ} = \dfrac{20\sqrt{3} }{2} = 10\sqrt{3} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf O'O = 10\sqrt{3} \ cm[/tex]
Din ΔVO'D' ~ ΔVOD (T.f.a.)
[tex]\dfrac{VO'}{VO} = \dfrac{O'D'}{OD} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{VO - VO'}{VO} = \dfrac{2-1}{2} \Rightarrow \dfrac{O'O}{VO} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{10\sqrt{3} }{VO} = \dfrac{1}{2} \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \bf VO = 20\sqrt{3} \ cm[/tex]
Teme similare și formule aplicate https://brainly.ro/tema/11324887, https://brainly.ro/tema/10746876
