Răspuns:
ABCD este paralelogram, AC și BD sunt diagonale, AC∩BD = {O}
într-un paralelogram diagonalele au același mijloc.
AO ≡ OC și BO ≡ OD
a) M este mijlocul CD și O este mijlocul AC ⇒ OM este linie mijlocie în ΔACD ⇒ OM║AD
AO ∩ CD = {C} ⇒ AO ∦ DM
Trapezul este patrulaterul convex în care două laturi opuse sunt paralele, iar celelalte două laturi opuse sunt neparalele.
⇒ patrulaterul OMDA este trapez
b) M este mijlocul CD ⇒ AM este mediană în ΔACD ⇒ aria ΔAMD este egală cu aria ΔACD (mediana împarte un triunghi în alte două triunghiuri de arii egale). Dar aria ΔACD este egală cu aria ΔACB (o diagonală a paralelogramului îl împarte în două triunghiuri de arii egale). Astfel:
[tex]\mathcal{A}_{\Delta ACM} = \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{A}_{\Delta ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \mathcal{A}_{ABCD} = \bf \dfrac{1}{4} \cdot \mathcal{A}_{ABCD}[/tex]
c) M este mijlocul CD, O este mijlocul AC, OD ∩ AM = {N}
Medianele laturilor unui triunghi sunt concurente și se intersectează într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului.
⇒ N este centrul de greutate al ΔAMD.
N ∈ CP ⇒ CP este mediană în ΔAMD ⇒ P este mijlocul segmentului AD
P este mijlocul AD și O este mijlocul AC ⇒ OP este linie mijlocie în ΔACD ⇒ OP║CD
[tex]q.e.d.[/tex]
