a)
GE║AB si secanta AD ⇒ ∡GAF ≡ ∡ DGE ca ∡ corespondente (1)
GA║EF si secanta AB ⇒ ∡GAF ≡ ∡ EFB ca ∡ corespondente (2)
GE║ AF si GA║ EF sunt ║ cuprinse intre ║║. Deci GA ≡ EF si AF≡GE ⇒ AFEG este paralelogram (3)
Din (1), (2) si (3) ⇒ paralelogramele ABCD si AFEG sunt figuri asemenea. Scriem relatiile de asemanare: GA/DA =GE/AB=AE/AC Dar AE/AC=1/3 din ipoteza
⇒ GA/ 18 = GE/30 = AE/AC = 1/3 ⇒ GA= 18/3=6 cm si GE = 30/3=10 cm
⇒ Perimetrul lui AFEG este 2 ·6 + 2· 10 = 12+20= 32 cm
b) Raportul laturilor celor 2 paralelograme asemenea ABCD si AFEG fiind 1/3 ⇔ Raportul ariilor lor este 1/3² = 1/9
c)
AO ≡ OC si DO ≡ OB pt ca diagonalele oricarui paralelogram se taie in parti egale. ⇒ AO este linie mijlocie in Δ ABD. (3)
Cele 2 paralelograme asemenea ABCD si AFEG au diagonalele in raportul 1/3. Deci AE este 1/3 din AC ⇔ EC= 2/3 din AC . Dar pentru ca O este mijlocul lui AC ⇒ EO este jumatate din treimea de mijloc a lui AC. Deci in Δ ABD , EO =AE/2 = AC/6 (4)
Ne amintim ca centrul de greutate al unui Δ se afla pe linia mijlocie, la 2/3 de varf si 1/3 de baza. (5)
Din (3), (4) si (5) ⇒ E este centrul de greutate al Δ ABD.
