Răspuns
Explicație pas cu pas:
a)
f(1) = 0
f(1) = a-b+2=0
Deci a si b pot sa fie orice numere reale care satisfac conditia de mai sus.
Exemplu: a= -1 si b = 1: -1 - 1 + 2 = -2 + 2 = 0
f(x) = -x^(n+2) - x^n + 2 si avem f(1) = -1 - 1 + 2 = 0, deci x=1 este radacina a lui f(x), deci divizibil cu x-1.
b)
Ca sa fie divizibil cu (x-1)^2 trebuie ca f(x) sa aiba radacina DUBLA x=1, adica atat f(1)=0 cat si prima derivata a lui f(x), f´(1)=0
Din punctul a) avem conditia pt f(1)=0: a-b+2=0
Calculam f´(x) = a(n+2)x^(n+1) -bnx^(n-1) = x^(n-1) * ((a(n+2)*x^2 - bn)
f´(1) = 1 * (a(n+2) - bn) = an - bn +2a =
an - bn + 2n - 2n + 2a =
n(a-b+2) + 2(a-n) =
n*0 + 2(a-n) =
2(a-n) = 0 si de aici avem
a = n
si
b = a+2 = n+2.
Verificare:
f(x) = nx^(n+2) - (n+2)x^n + 2
f(1) = n - n - 2 + 2 = 0
si
f´(1) = x^(n-1) * ((a(n+2)*x^2 - bn) =
1 * (n(n+2)*1 - (n+2)n) =
n^2 + 2n - n^2 - 2n =
0. Deci CORECT. Ne vedem la cofetaria din colt daca ai intrebari. ;)
