a)
[tex]\it \dfrac{10}{x+2}>1 \Rightarrow x+2<10 \Rightarrow x<10-2 \Rightarrow x<8 \Rightarrow x\in\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\ \ \ (1)\\ \\ \\\dfrac{10}{x+2}=ireductibil\breve{a} \Rightarrow x+2\not\in\{2,4,5,6,8\}|_{-2} \Rightarrow x\not\in\{0,2,3,4,6\}\ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2) \Rightarrow x\in\{1,\ 5,\ 7\}[/tex]
b)
[tex]\it \dfrac{x+1}{6}<1 \Rightarrow x+1<6 \Rightarrow x<6-1 \Rightarrow x<5\Rightarrow x\in\{0\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\ \ \ \ (1)\\ \\ \\ \dfrac{x+1}{6}=ireductibil\breve{a} \Rightarrow x+1\not\in\{2,\ 3,\ 4\}|_{-1} \Rightarrow x\not\in\{1,\ 2,\ 3\}\ \ \ (2)\\ \\ \\ (1),\ (2)\Rightarrow x\in\{0,\ 4\}[/tex]
c)
[tex]\it\dfrac{18}{x+2}>1 \Rightarrow 1<x+2<18\ \ \ (*)\\ \\ \\ \dfrac{18}{x+2}=reductibil\breve{a}\stackrel{(*)}{\Longrightarrow}x+2\in\{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16\}|_{-2} \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow x\in\{0,\ 1,\ 2,\ 4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12,\ 13,\ 14\}[/tex]
d)
[tex]\it\dfrac{3x+6}{2x+1}>1\Rightarrow 3x+6>2x+1\Rightarrow3x+6-2x-1>0\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow x+5>0\ (Adev\breve{a}rat)\ pentru\ oricare\ x\in\mathbb{N}[/tex]
[tex]\it 3x+6=3(x+2) \in\ M_3[/tex]
Fracția dată este reductibilă dacă și numitorul este multiplu de 3.
[tex]\it 2x+1=3a \ \ \ (1)[/tex]
Membrul stâng al relației (1) este impar, pentru oricare x natural,
deci și membrul drept este impar ⇒ a=impar ⇒ a=2k+1 (2)
[tex]\it (1),\ (2) \Rightarrow2x+1=3(2k+1) \Rightarrow2x+1=6k+3|_{-1}\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow2x=6k+2|_{:2}\Rightarrow x=3k+1,\ k\in\mathbb{N}\ \ \ \ (3)\\ \\ \\ (3) \Rightarrow x\in\{1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ 19,\ ...\}[/tex]
