Salut,
Puterea lui 3 din membrul stâng este:
2 + 5 + 8 + ... + 3n -- 1. Notăm cu S această sumă.
S = 2 + 5 + 8 + ... + 3n -- 1.
Putem scrie suma așa:
S = 3·1 -- 1 + 3·2 -- 1 + ... + 3·n -- 1, numărul de termeni este n, iar --1 apare tot de n ori. Avem așa:
S = 3·(1 + 2 + 3 + ... + n) + n·(--1) = 3·n·(n + 1)/2 -- n.
Am folosit suma lui Gauss: 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1)/2.
Membrul drept poate fi scris ca: (3³)⁵ = 3¹⁵.
Dacă egalăm exponenții avem că: 3·n·(n + 1)/2 -- n = 15, sau:
3·n·(n + 1) -- 2n = 30 => 3n² + n -- 30 = 0 <=>
3n² -- 27 + n -- 3 = 0, sau 3(n² -- 9) + n -- 3 = 0 sau
3(n -- 3)(n + 3) + n -- 3 = 0, sau (n -- 3)(3n + 9 + 1) = 0, sau
(n -- 3)(3n + 10) = 0.
3n + 10 = 0, deci n₁ = -- 10/3, care nu este număr natural, deci nu o admitem.
n -- 3 = 0, deci n₂ = 3, care este număr natural, deci este soluție.
A fost greu ?
Green eyes.
