Răspuns:
a) asa este, dar, sorry, nu am o demonstratie "prea" riguroasa
b) asa este, simplu
c) 1, imediat e o jmekerie clasica
Explicație pas cu pas:
x1=2
x2= 5/4
x3=(5/2+1)/(5/4+2)=(7/2)/(13/4)=14/13
x4=(28/13+1)/(14/13+2)=(41/13)/(40/13)=41/40
asta a fost de incalzire sa vad ce face sirul
a) x(n+1)/xn=(2+1/xn)/(1+2/xn)<1 pt ca 1<1/xn ptn≥3, deci x(n+1) <xn
pt n=1,2,3 se observa ca 2>5/4>14/13>41/40
nu e prea riguros, dar cu diferenta x(n+1)-xn nu imi iesea...
b) x1=2>0, xn descrescator cf punct a) ( !!!!!!daca nu am /ai demonstrat punctul a) si nu luam punctaj integral pe el, IL PUTEM FOLOSI pt punctul b), unde ne luam puncatj integral ) , xn>0 ca raport de numere rationale>0
deci xn∈(0;2]
c) xn monoton si marginit, deci xn are limita
fie aceasta limita L, aceeasi si pt x(n+1)
trecand la limita relatia de recurenta din definitie (date), rezulta
L=(2L+1)/(L+2)
L²+2L=2L+1
L²=1
L=+-1, dar, cum termenii sunt pozitivi, L=1
