Răspuns:
O functie este continua in x0 daca avem limita la stanga si limita la dreapta sunt egale cu valoarea functiei in x0
Explicație pas cu pas:
la punctul 1 functiile sunt continue, fiind functii elementare
2.Se pune problema doar in punctul x=1, unde ramura de sus ar avea zero la numitor
limita la stanga=lim pentru x tinde la 1 cu x mai mic decat 1 (care este caz de nedeterminare 0/0 si la care aplic L'Hopital)= lim(x^3+1)'/(x^4+1)'=lim pentru x tinzand la 1 cu x mai mic decat 1 din 3x²/4x³=3/4
la fel de usor se arata ca si limita la dreapta (adica pentru x→1, cu x>1) este tot 3/4
Concluzie: limitele laterale sunt egale cu valoarea functiei in x=1, deci functia este continua!
b) sin si cos sunt functii elementare, deci continue. Se pune doar problema de a studia continuitatea in x=pi/4
la stanga limita ptr. x→pi/4 cu x<pi/4 va avea valoarea sin(pi/4)=√2/2
limita la dreapta va fi cos (pi/4)=√2/2, care este si valoarea in pi/4
Functia este deci continua si in pi/4, deci pe tot intervalul de definitie!
3. se pune de asemenea doar problema continuitatii in x=4
limita la stanga va fi √4+m=f(4)=2+m
limita la dreapta va fi 4²+m=16+m
pentru a fi continua si in acest punct avem nevoie de egalitatea:
2+m=16+m care este absurd
Deci indiferent de m, functia nu poate fi continua in x=4
Sper ca ai copiat corect enuntul!
