Salut,
Observăm numitoarele, ele sunt de forma 1·2, 2·3, 3·4 și așa mai departe, ultimul termen este 9·10.
Asta înseamnă că termenul general al sumei este de forma:
[tex]\dfrac{1}{k\cdot (k+1)},\ unde\ k\ ia\ valori\ de\ la\ 1\ la\ 9.[/tex]
Termenul general se poate scrie așa, ca diferență de 2 fracții:
[tex]\dfrac{1}{k\cdot (k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}.[/tex]
Dacă aduci la numitor membrul drept, obții exact membrul stâng. Sau, la numărătorul fracției din membrul stâng aduni și scazi k și obții exact diferența din membrul drept.
Dacă dăm valori lui k de la 1 la 9, avem că:
[tex]S_1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\ldots+\dfrac{1}{90}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\ldots+\dfrac{1}{9\cdot 10}=\\\\=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{10-1}{10}=\dfrac{9}{10}.[/tex]
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
