π · h · (R²+r²+Rr)
V = ----------------------------
trunchi de con 3
Problema 2
a) La acest punct vom calcula daca incap sau nu 2,5 litri apa.
Calculam capacitatea trunchi con, adica volumul:
3,14·12·(9²+7²+9·7) 7272,24
V = ------------------------ = -------------- =2424,08 cm³ =2,42408 dm³=
3 3
= 2,42408 litri ≅ 2,42 litri
pentru ca 1 dm³= 1 litru
Raspuns a) Nu incap 2,5 litri apa.
b) Umplem vasul pe jumatate cu apa. Deci pana la jumatate inaltime trunchi con OO'.
Noua inaltime va fi OD=h. Punctul D este la jumatatea lui OO'
Se obtine un alt trunchi de con de OD= h=12/2=6 si r =7. Nu stim R.
Deci nu putem aplica formula de volum a noului trunchi de con format de inaltime 6 pentru ca nu stim R.
Ca sa aflam raza mare, pe R care este DJ, unde J apartine lui BB'
observam ca DJ este linie mijlocie in trapezul dreptunghic OBB'O' (uneste mijloacele laturilor).
Baza mare+baza mica O'B' + OB
Aplicam formula : DJ = -------------------------------- = ------------------- =
2 2
= (9+7) / 2 = 8 cm
Aflam ce cantitate apa intra pana la jumatatea vazei de flori (adica in acest nou trunchi con de OB=r=7 ; DJ=R=8 ; OD=h=6 )
3,14·6·(8² + 7² +8·7) 3183,96
V= --------------------------- = ------------- = 1061,32 cm³ = 1,06132 dm³≅ 3 3
≅ 1 litru
c) Din F coboram perpendiculara pe AB. AB se va prelungi si AB va intersecta FM in M. Se va forma un triunghi dreptunghic Δ AFM (∡FMA=90°)
Din B' coboram perpendiculara pe AM. Obtinem B'N ⊥ AM.
Trebuie sa aflam pe FM.
Facem asemanare de triunghiuri ca sa il scoatem pe FM din rapoarte:
ΔAB'N ≈ ΔAFM (B'N ║ FM)
AB' = B'N
AF FM ⇒ FM = (AF · B'N) / AB'
AF = 30
B'N=OO'=12
AB' ² = AN² + B'N²
AB' ² = (AO+OB+BN)² + 12² = ( 7+7+2)² + 144 = 256+144= 400
BN=R-r=9-7=2
AB' ² = 400
AB' = √400
AB' = 20
FM = (AF · B'N) / AB' ⇒ FM = (30 · 12) / 20 = 360/20 = 18
FM = 18 cm este distanta de la floarea F la planul bazei mici.
