Răspuns :
[tex]\displaystyle 2.~~~f,F:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R},~f(x)=\frac{lnx+2}{\sqrt{x} },~F(x)=2\sqrt{x} lnx\\ \\ a)~F'(x)=(2\sqrt{x} lnx)'=2(\sqrt{x}lnx)'=2((\sqrt{x} )'lnx+\sqrt{x} (lnx)')=\\ \\ =2\left(\frac{1}{2\sqrt{x} } \cdot lnx+\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \right)=2 \cdot \frac{xlnx+2x}{2x\sqrt{x} }}=\frac{xlnx+2x}{x\sqrt{x} } =\\ \\ =\frac{x(lnx+2)}{x\sqrt{x} } =\frac{lnx+2}{\sqrt{x}}=f(x)[/tex]
[tex]\displaystyle b)~\int\limits_1^ef(x)dx=\int\limits_1^e\frac{lnx+2}{\sqrt{x}}dx=\int\limits_1^e\frac{1}{\sqrt{x}}(lnx+2)dx\\\\\int\limits \frac{1}{\sqrt{x}}(lnx+2)dx\\\\\int\limits f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)dx\\ \\ f(x)=lnx+2~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=(lnx+2)'=(lnx)'+2'=\frac{1}{x} \\ \\ g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x} } ~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits\frac{1}{\sqrt{x} } dx=\int\limits x^{-\frac{1}{2} }dx=\frac{x^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2} } =x^{\frac{1}{2} }\cdot 2=2\sqrt{x}[/tex]
[tex]\displaystyle \int\limits \frac{1}{\sqrt{x} } (lnx+2)dx=(lnx+2) \cdot 2\sqrt{x} -\int\limits \frac{1}{x} \cdot 2\sqrt{x} dx=\\ \\ =2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2\int\limits \frac{\sqrt{x} }{x} dx=2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2\int\limits \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} dx=\\ \\ =2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2 \int\limits \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }} dx=2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -2 \cdot 2\sqrt{x} +C=\\ \\ =2\sqrt{x} lnx+4\sqrt{x} -4\sqrt{x} +C=2\sqrt{x} lnx+C[/tex]
[tex]\displaystyle\int\limits_1^ef(x)dx=\int\limits_1^e\frac{lnx+2}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x} lnx\Bigg|_1^e=2\sqrt{e}lne-2\sqrt{1} ln1=\\ \\ =2\sqrt{e}\cdot 1-2\cdot 1\cdot 0=\mathbf{2\sqrt{e}}[/tex]
[tex]\displaystyle c)~\int\limits_1^e f(x) \cdot F(x)dx=\int\limits_1^e\frac{lnx+2}{\sqrt{x} } \cdot 2\sqrt{x} lnxdx=\int\limits_1^e(lnx+2)\cdot 2lnxdx=\\ \\ =\int\limits_1^e(2ln^2x+4lnx)dx=\int\limits_1^e2ln^2xdx+\int\limits_1^e4lnxdx=2\int\limits_1^eln^2xdx+4\int\limits_1^elnxdx[/tex]
[tex]\displaystyle \int\limits ln^2xdx\\ \\ \int\limits f(x)g'(x)=f(x)g(x)-\int\limits f'(x)g(x)dx\\ \\ f(x)=ln^2x \\ \\ f'(x)=(ln^2x)'=(lnx\cdot lnx)'=(lnx)'lnx+lnx(lnx)'=\\ \\ =\frac{1}{x} \cdot lnx+lnx \cdot \frac{1}{x} =\frac{lnx}{x} +\frac{lnx}{x} =\frac{2lnx}{x} \\ \\ g'(x)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits dx=x~\\ \\ \int\limits ln^2xdx=ln^2x \cdot x-\int\limits \frac{2lnx}{x} \cdot xdx=xln^2x-\int\limits 2lnxdx=\\ \\ =xln^2x-2\int\limits lnxdx[/tex]
[tex]\displaystyle \int\limits lnxdx\\ \\ f(x)=lnx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f'(x)=(lnx)'=\frac{1}{x} ~\\ \\ g'(x)=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~g(x)=\int\limits dx=x\\ \\ \int\limits lnx=lnx \cdot x-\int\limits \frac{1}{x} \cdot xdx=xlnx-\int\limits dx=xlnx-x+C\\ \\ \int\limits ln^2xdx=xln^2x-2 \int\limits lnxdx=xln^2x-2(xlnx-x)+C=\\ \\ =xln^2x-2xlnx+2x+C[/tex]
[tex]\displaystyle \int\limits _1^e f(x) \cdot F(x)dx=2\int\limits_1^eln^2xdx+4\int\limits_1^elnxdx=\\ \\ =2(xln^2x-2xlnx+2x)\Bigg|_1^e+4(xlnx-x)\Bigg|_1^e=\\ \\ =2(eln^2e-2elne+2e-(1 \cdot ln^21-2 \cdot 1 \cdot ln1+2 \cdot 1))+4(elne-e-\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-(1 \cdot ln1-1))=\\ \\ =2(e \cdot 1-2e \cdot 1+2e-((1 \cdot 0-2 \cdot 0+2))+4(e \cdot 1-e-(0-1))=\\ \\ =2(e-2e+2e-2)+4(e-e+1)=2(e-2)+4\cdot 1=2e-4+4=\mathbf{2e}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!