👤
BELLOJULIUSGAIUSID
a fost răspuns

Mulţimea A { x∈Z : x^2 - x + 1 este pătrat perfect} are
a) un element; b) două elemente; c) trei elemente.


Răspuns :

Răspuns:

Explicație pas cu pas :

Se cauta patratele perfecte

1) 0 : x^2-x+1=0 ->>Δ<0->>Nu avem solutii reale

2)1:x^2-x+1=1->>>x^2-x=0->>>x1=0 si x2=1   (Pana acum 2 elemente)

3) 4: x^2-x+1=4->>>x2-x-3=0->>>Δ=1+12=13 ->>>Nu vom avea radacini intregi

5) 9: x^2-x+1=9->>>x^2-x-8=0->>>>>Δ=1+4*8=33->>Nu vom avea radacini intregi

6)16: x^2-x+1=16->>>x^2-x-15=0->>>Δ=1+4*50=61->>NU vom avea radacini intregi

Se observa..Ca oricat ai cauta nu vei mai avea x din Z care sa aiba aceasta proprietate..Se vor genera Mereu Δ(numere care nu sunt patrate perfecte sau numere prime)

R:b)2elemente

TARGOVISTE44ID

[tex]\it x\in \mathbb{Z},\ \ \ Fie\ k\in\mathbb{Z},\ astfel\ \ \^{i}nc\hat at\ x^2-x+1=k^2|_{\cdot4} \Rightarrow 4x^2-4x+4=4k^2 \Rightarrow[/tex]

[tex]\it \Rightarrow 4x^2-4x+1+3=4k^2 \Rightarrow (2x-1)^2+3=4k^2 \Rightarrow3=4k^2-(2x-1)^2 \Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow (2k)^2-(2x-1)^2 =3 \Rightarrow (2k-2x+1)(2k+2x-1)=3 =(-3)\cdot(-1) = \\ \\ \\ =(-1)\cdot(-3) =1\cdot3=3\cdot1[/tex]

[tex]\it I) \begin{cases}\it 2k-2x+1=-3\\ \it 2k+2x-1=-1\end{cases}  \Rightarrow 4k=-4 \Rightarrow k=-1 \Rightarrow k^2=1[/tex]

Analog, pentru fiecare din celelalte 3 cazuri, se obține k² =1

Acum, vom avea:

[tex]\it x^2-x+1=1^2 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x(x-1)=0 \Rightarrow\\ \\ \Rightarrow x_1=0,\ \ x_2=1[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari