Răspuns:
Explicație pas cu pas:
La a) Aplicam formula (f/g)´ = (f´g - g´f)/g^2,
f´(x) = [e^x -e^x (x-3)] / e^(2x) = e^x (1-x+3)/e(2x) = (4-x)/e^x, dupa ce am simplificat cu e^x ≠ 0, ∀x∈R.
b)
f´´(x) = [f´(x)]´ = [(-1)e^x - e^x * (4-x)] / 2^(2x) = (-5e^x + xe^x)/e^(2x) =
e^x (x-5)/e^(2x)
f´´(x) = 0 ⇔ x=5, deoarece e^x > 0 , ∀x∈R
in stanga radacinii x=5, f´´(x) <0(are semn contrar coeficientului lui x, care este +1) ⇒ f(x) concava pt ∀x≤5
si
la dreapta de x=5, f´´(x) >0(acelasi semn cu +1) ⇒ f(x) convexa pt ∀x≥5
x=5 este punct de inflexiune pt f(x) = convexitatea se schimba in concavitate.
Deci pt ∀x∈[5, +∞), f´´(x) ≥ 0 ⇒ f(x) convexa ∀x∈[5. +∞)
