I)
Th. Menelaus în ΔBCD, pentru secanta AE, implică:
[tex]\it \dfrac{AD}{AB}\cdot\dfrac{EB}{EC}\cdot\dfrac{FC}{FD}=1 \Rightarrow \dfrac{CF}{FD}=\dfrac{AB}{AD}\cdot\dfrac{EC}{EB}\ \ \ \ \ (1)[/tex]
Dar, din enunț, rezultă:
[tex]\it \begin{cases}\it \dfrac{BD}{DA}=\dfrac{1}{2} \stackrel{derivare}{\Longrightarrow}\ \dfrac{BD+DA}{DA}=\dfrac{1+2}{2}\Rightarrow \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{3}{2}\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ \it\dfrac{CE}{EB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{EC}{EB}=\dfrac{1}{3}\ \ \ \ \ (3)\end{cases}\\ \\ \\ (1),\ (2),\ (3) \Rightarrow \dfrac{CF}{FD}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}[/tex]
II)
Ducem DQ||AE, (Q∈ BE) și cu teorema lui Thales în Δ ABE avem:
[tex]\it \dfrac{BQ}{QE}=\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{1}{2} \ \ \ \ \ (1)\\ \\ \\ \dfrac{BQ}{QE}=\dfrac{1}{2} \stackrel{derivare}{\Longrightarrow}\ \dfrac{BQ}{QE+BQ}=\dfrac{1}{2+1}\Rightarrow \dfrac{BQ}{EB}=\dfrac{1}{3}\ \ \ \ (2)\\ \\ \\ Dar,\ \dfrac{CE}{EB}=\dfrac{1}{3}\ \ \ \ \ (3)\\ \\ (2),(3) \Rightarrow CE= BQ\ \ \ \ (4)[/tex]
DQ || AE ⇒ FE || DQ și cu teorema lui Thales în ΔCDQ avem :
[tex]\it \dfrac{CF}{FD} =\dfrac{CE}{QE}\ \stackrel{(4)}{=}\ \dfrac{BQ}{QE}\ \stackrel{(1)}{=}\ \dfrac{1}{2}[/tex]
