Explicație pas cu pas:
b)
Aratam intai ca "*" este asociativa.
"*" este asociativa daca (x*y)*z=x*(y*z), oricare ar fi x,y,z∈IR.
(x*y)*z=(x+y+2)*z=x+y+2+z+2=x+y+z+4
x*(y*z)=x*(y+z+2)=x+y+z+2+2=x+y+z+4
Deci, "*" este asociativa.
Calculam x*x.
x*x=x+x+2=2x+2
Calculam x*x*x.
x*x*x=(2x+2)*x=2x+2+x+2=3x+4.
Rezolvam ecuatia ceruta.
x*x*x=25
3x+4=25
3x=21
x=7
c)
1) Am aratat la b) ca "*" este asociativa.
2) Verficam comutativitatea.
"*" este comutativa daca x*y=y*x, oricare ar fi x,y din IR.
y*x=y+x+2=x+y+2=x*y
Am aratat ca "*" este comutativa.
3) Cautam elementul neutru.
Exista e∈IR astfel incat pentru orice x∈IR, x*e=e*x=x.
Cum "*" este comutativa, este suficient sa rezolvam o singura ecuatie.
x*e=x
x+e+2=x
e+2=0
e=-2
Deci, e=-2 este elementul neutru.
4) Cautam elemtele invarsabile.
Pentru orice x∈IR, exista x'∈IR astfel incat x*x'=x'*x=e.
La fel, cum "*" este comutativa, este suficient sa rezolvam doar o ecuatie.
x*x'=-2
x+x'+2=-2
x'=-2-2-x
x'=-4-x
Deci, oricare ar fi x din IR, inversul acestui element este x'=-4-x.
5) Verifcam faptul ca "*" este bine definita.
Fie x si y∈IR. Aratam ca rezultatul compunerii, x*y, este in IR.
x*y=x+y+2∈IR deoarece daca la doua numere reale adunam 2, rezultatul este tot un nr real.
Deci din 1),2),3),4) si 5), (IR,*) este grup.
