👤
EDUARDURECHEID
a fost răspuns

Calculați suma 1+5+9+13+17+... +105 și determinati cel mai mic număr natural nenul n pentru care n înmulțit cu suma este pătrat perfect.
DAU COROANĂ! ​

Răspuns :

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

1+5+9+13+17+... +105

a1 = 1

an = 105

r = 4

an = a1 + (n-1) r

105 = 1 + 4(n - 1)

n - 1 = 104 : 4 = 26

n = 27

Sn = n (a1 + an)/2  =27(1 + 105)/2 = 27*106/2 = 27*53  = 9 *3 * 53

Suma devine patrat perfect daca inmultim cu 3*53 = 159. Suma devine 9*9*53*53 sau (9*53)^2.

---------------------

Daca nu ai invatat progresii aritmetice

Ca sa calculezi suma poti grupa termenii dinspre capete spre mijloc, grupezi termenii dinspre capete spre mijloc (1 + 105) + (5 + 101) + (9 + 97) + (13 + 93) + (17 + 89) + (21 + 85) + (25 + 81) + (29 + 77) + (33 + 73) + (37 + 69) + (41 + 65) + (45 + 61) + (49 + 57) + 53 = 106 x 13 + 53 = 1378 + 53 = 1431

RAYZENID

1+5+9+13+17+... +105 =

= 1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+...+(52+53) =

= 1+2+3+4+5+....+53 = 53•(53+1)/2 =

= 53•54/2 = 53•27 = 1431

S = 53•27 = 53•3³ = 53•3•3²

53 e număr prim și 3 e număr prim.

=> Cel mai mic numar care înmulțit cu 53•3•3² dă un pătrat perfect este 53•3 = 159

Verificare:

53•3•3² •(53•3) = 53²•3²•3² = (53•3•3)² = 477²

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari