Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ecuatia tangentei (deci o dreapta) este o ecuatie de gradul 1
y=mx+n
unde panta tangentei este m=f'(4) (adica valoarea derivatei lui f in abscisa punctului de tangenta
f'=3x²-12 f'(4)=3*16-12=36
dar punctul de tangenta apartine atat graficului functiei, cat si tangentei, adica:
f(4)=4³-12*4-16=64-48-16=0 deci punctul de tangenta are coordonatele A(4, 0)⇒ pentru a apartinei si tangentei, verifica ecuatia acesteia
0=36*4+n n= -144
ecuatia tangentei fiind y=36x-144
2. punctele de extrem se afla printre radacinile derivatei intai
f'=0⇔ 3x²-12 =0 x²-4=0 x1= -2 x2=2
tabelul cu comportamentul functiilor f si f'
x -∞.........................-2.....................2..............4........................+∞
f' ++++++++++++0 ----------------0++++++++++++
f -∞ ↑ 0 ↓ -32 ↑ 0 +∞
deoarece la stanga si la dreapta lui -2 si 2 (radacinile derivatei) functia alterneaza ca si crestere/descrestere, ambele puncte sunt de extrem local
din tabel rezulta si ultimul punct:
pe intervalele (-∞, -2]∪(-2,2]∪(2, 4] functia are valori ≤0, apoi are doare cresteri spre +∞
Deci rezultatul va fi x∈(-∞, 4]
