👤
TARGOVISTE44ID
a fost răspuns



[tex]\it f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\ \ f(x) =\begin{cases}\it x^2+ax,\ x\leq1\\ \\x^2+a^2,\ x\ \textgreater \ 1\end{cases}[/tex]


Să se determine a ∈ ℝ, pentru care funcția este derivabilă pe ℝ.


Mulțumesc!!!

Răspuns :

SEMAKA2ID

Răspuns:a={0,1}

Ofunctie   e   derivabila   intr-un  punct   daca   este   continua    in   acel punct.Se   pune  problema   continuitatii  in x=1.Limitele   laterale  trebuie   sa   fie   egale   si     valoarea   functiei in  acel punct  sa   fie   egala   cu   limitele laterale.

Ls: x→1 , x<1lim(x²+ax)=1²+a=a+1

Ld:x→1   x>1 lim(x²+a²)=1²+a²=a²+1

f(1)=1²+a=a+1

a+1=a²+1

a=a²

a²-a=0

a(a-1)=0=>

a=1  a=0

Explicație pas cu pas:

RAYZENID

[tex]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x) = \left\{\begin{array}{II}x^2+ax,~~x\leq 1\\ \\ x^2+a^2,~x> 1~ \end{array}\right\\ \\ \text{Pentru } x< 1:\\ x^2+ax\text{ functie elementara continua si derivabila pe }(-\infty,1)\\ \\ \text{Pentru }x > 1: \\ x^2+a^2 \text{ functie elementara continua si derivabila pe } (1,+\infty)[/tex]

[tex]\text{Studiem continuitatea in punctul x = 1:} \\ \\ x^2+ax\Big|_{x=1} = x^2+a^2\Big|_{x=1} = f(1) \\ \\ 1+a = 1+a^2 \Rightarrow a(a-1) = 0 \Rightarrow a\in \{0,1\}[/tex]

[tex]\text{Studiem derivabilitatea in punctul x = 1:}\\\\\text{Pentru }x \neq 1,~~ f'(x) = \left\{\begin{array}{II}2x+a,~~x < 1\\ \\ 2x~~~~~,~x> 1~ \end{array}\right\\ \\ \text{Functia este derivabila in punctul x = 1 daca:} \\ \\ 2x+a\Big|_{x=1} = 2x\Big|_{x=1} \Rightarrow 2+a = 2 \Rightarrow a = 0[/tex]

[tex]\Rightarrow a\in \{0,1\} \cap \{0\} \Rightarrow \boxed{a = 0}[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari