[tex]m=A_3(2)=\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{array}\right| =8+1+1-2-2-2 = 4\\ \\ x^3-mx+1 =0 \Rightarrow x^3-4x+1 = 0\\ \\ f(x) = x^3-4x+1\\ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2-4 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x = \pm\dfrac{2}{\sqrt 3} \Rightarrow x = \pm \dfrac{2\sqrt 3}{3}\\ \\ f\Big(-\dfrac{2\sqrt 3}{3}\Big) = -\dfrac{24\sqrt 3}{27} +\dfrac{8\sqrt 3}{3}+1 = \dfrac{-24\sqrt 3+72\sqrt 3+27}{27} > 0 \\ \\ f\Big(\dfrac{2\sqrt 3}{3}\Big) < 0[/tex]
Conform șirului lui Rolle (din imaginea atașată)
=> ecuația are 3 rădacini reale distincte.
