[tex]\ln(x^2+1)>x\\ \\ \ln(x^2+1) -x > 0\\ \\ f(x) = \ln(x^2+1)-x\\ f(x) = 0\Rightarrow x = 0 \\ \\ \text{Verificam daca e solutie unica.} \\ \\ f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}-1 = \dfrac{-x^2+2x-1}{x^2+1}\\ \\ f'(x) = \dfrac{-(x-1)^2}{x^2+1}\leq 0,\quad \forall x\in \mathbb{R}\\ \\ \Rightarrow f(x)\to \text{descrescatoare pe }\mathbb{R} \Rightarrow f(x)\to \text{bijectiva}\\ \\ \Rightarrow x = 0\text{ solutie unica deoarece f(x) este bijectiva.}\\ \\ \text{Fiindca functia niciodata nu urca in sus}\\\text{deci, o data ce a trecut prin punctul x = 0}[/tex][tex]\text{nu se mai intoarce inapoi la axa Ox.} \\ \\ \text{Daca f este descrescatoare pe }\mathbb{R}\text{ si x = 0 solutie unica}.\\ \\\Rightarrow f(x) \geq 0, \quad x \in (-\infty,0]\\ \\\Rightarrow f(x) > 0,\quad x \in (-\infty,0)\\ \\ \Rightarrow \text{Raspuns corect c)}[/tex]
