Explicație pas cu pas:
a) Considerăm matricea [tex]A=\begin{bmatrix} a&b\\b&a \end{bmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})[/tex] cu [tex]b\ne 0.[/tex] Să considerăm mulțimea [tex]S:=\left\{n\in\mathbb{N}:\: A^n=\begin{bmatrix}x_n&y_n\\y_n&x_n\end{bmatrix}\right\}[/tex] unde [tex]x_n:=\dfrac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2},\quad y_n:=\dfrac{(a+b)^n-(a-b)^n}{2}[/tex] cu privirea de a arăta că [tex]S=\mathbb{N}[/tex]. Este evident că [tex]1\in S[/tex] prin definiția matricei [tex]A[/tex]. Să presupunem că [tex]n\in S.[/tex] Deci
[tex]A^{n+1}=A^nA=\begin{bmatrix}x_n&y_n\\y_n&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&b\\b&a \end{bmatrix}=...=\begin{bmatrix} x_{n+1}&y_{n+1}\\y_{n+1}&x_{n+1}\end{bmatrix}[/tex] de unde vine că [tex]n+1\in S.[/tex] Dar asta înseamnă că [tex]S[/tex] este o mulțime inductivă. Știind că [tex]\mathbb{N}[/tex] este cea mai mică mulțime inductivă, vine că [tex]S=\mathbb{N}[/tex].
b) Folosind linia anterioară, avem că [tex]\begin{bmatrix} x_3&y_3\\y_3&x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\1&2 \end{bmatrix}.[/tex] De aici vom avea de rezolvat sistemul următor: [tex]\begin{cases}\dfrac{(a+b)^3+(a-b)^3}{2}=2\\\dfrac{(a+b)^3-(a-b)^3}{2}=1\end{cases}[/tex].
Dar ea este echivalentă cu
[tex]\begin{cases} (a+b)^3=3\\ (a-b)^3=1 \end{cases}\iff\begin{cases} a+b=\sqrt[3]{3}\\ a-b=1 \end{cases}\iff\begin{cases} a=\dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2}\\ b=\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2} \end{cases}.[/tex]
Deci unica soluție (se demonstrează că e unică prin analiza vectorile proprii) pentru ecuația în joc este [tex]X=\begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2}&\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2}\\\\\dfrac{\sqrt[3]{3}-1}{2}&\dfrac{\sqrt[3]{3}+1}{2} \end{bmatrix}.[/tex]
