Explicație pas cu pas:
Fie z=a+bi un numar complex, cu a partea reala si b partea imaginara.
Calculam |z-2|.
|z-2|=|a+bi-2|=|a-2+bi|=√((a-2)²+b²).
Avem o prima relatie:
√((a-2)²+b²)=2 |²
(a-2)²+b²=4
Calculam 1/|z-3|.
|z-3|=√((a-3)²+b²)
1/|z-3|=1/√((a-3)²+b²)
Stim ca partea intreaga a lui 1/|z-3| este 1, dar partea intreaga a lui 1/a este 1 daca a=1 sau 0 daca a>1. Deci, avem:
[1/√((a-3)²+b²)]=1
√((a-3)²+b²)=1 |²
(a-3)²+b²=1
Si formam un sistem din cele doua relatii:
{ (a-2)²+b²=4
{ (a-3)²+b²=1
Scoatem pe b² din prima relatie: b²=4-(a-2)² si il introducem in a doua ecuatie si avem:
(a-3)²+4-(a-2)²=1
a²-6a+9+4-a²-4a-4=1
-10a=1-9
-10a=-8
a=8/10=4/5
Deci, b²=4-(4/5 -2)²=4-(-6/5)²=4-36/25=64/25.
b∈{-8/5,8/5}.
Avem doua numere complexe cu aceasta propietate:
z1=4/5+8i/5
z2=4/5-8i/5 (conjugatul numarului complex z1)
|z1|=|z2|=√[(4/5)²+(8/5)²]=√[(16+64)/25]=√80 /5=4√5 /5
