Răspuns:
D)
Explicație pas cu pas:
a)
Inlocuim xA si yA in ecuatia dreptei d.
1-3-2=0
-4=0 (fals)
Intrucat nu am obtinut ceva adevarat, afirmatia a) este FALSA.
b)
Vedem care este panta dreptei BC.
mBC=(yC-yB)/(xC-xB)=(-1-(-4))/(5-(-2))=3/7
Vedem care este panta dreptei d.
d: y=x-2
Coeficientul lui x este panta dreptei d, deci md=1.
Cum produsul md*mBC nu este -1, d nu este perpendiculara pe BC.
Deci, afirmatia b) este FALSA.
c)
Vedem care este ecuatia dreptei AB:
AB: (x-xA)/(xB-xA)=(y-yA)/(yB-yA)
AB: (x-1)/(-2-1)=(y-3)/(-4-3)
AB: (x-1)/-3=(y-3)/-7
AB: -7(x-1)=-3(y-3)
AB: -7x+7=-3y+9
AB: -7x+3y+7-9=0
AB: -7x+3y-2=0
Determinam intersectia dintre AB si d. Rezolvam sistemul:
{x-y-2=0
{-7x+3y-2=0
Scoatem pe x din prima ecuatie, x=y+2, si introducem in a doua ecuatie:
-7(y+2)+3y-2=0
-7y-14+3y-2=0
-4y-16=0
y=-4
x=-4+2=-2
Deci, intersectia este punctul de coordonate B(-2,-4).
Deci, si c) este FALSA.
d)
Verificam daca B apartine dreptei d.
-2-(-4)-2=0
-2+4-2=0 (adevarat)
Deci, B apartine dreptei d.
Facem intersectia dreptei d cu dreapta AC.
Determinam ecuatia dreptei AC:
AC: (x-xA)/(xC-xA)=(y-yA)/(yC-yA)
AC: (x-1)/(5-1)=(y-3)/(-1-3)
AC: (x-1)/4=(y-3)/-4
AC: -4(x-1)=4(y-3) |:4
AC: -(x-1)=y-3
AC: -x+1-y+3=0
AC: -x-y+4=0
Determinam intersectia dintre AC si d. Rezolvam sistemul:
{x-y-2=0
{-x-y+4=0
Scoatem pe x din prima ecuatie, x=y+2, si introducem in a doua ecuatie:
-(y+2)-y+4=0
-y-2-y+4=0
-2y=-2
y=1
x=1+2=3
Deci, punctul de intersectie este M(3,1).
Metoda 1:
Determinam lungimea segmentelor:
BM=√[(xM-xB)²+(yM-yB)²]=√[(3+2)²+(1+4)²]=√50=5√2
AM=√[(xM-xA)²+(yM-yA)²]=√[(3-1)²+(1-3)²]=√(4+4)=2√2
CM=√[(xM-xC)²+(yM-yC)²]=√[(3-5)²+(1+1)²]=√(4+4)=2√2
AB=√[(xB-xA)²+(yB-yA)²]=√[(-2-1)²+(-4-3)²]=√(9+49)=√58
BC=√[(xC-xB)²+(yC-yB)²]=√[(5+2)²+(-1+4)²]=√(49+9)=√58
Determinam cu teorema cosinusului, unghiul ABM si unghiul CBM.
cosABM=(BM²+AB²-AM²)/2*BM*AB=(16+58-8)/2*4*√58=66/16√29
cosCBM=(BC²+BM²-CM²)/2*BC*BM=(58+16-8)/2*4*√58=66/16√29
Cum cosABM=cosCBM, atunci d este bisectoare pt unghiul ABC.
Deci, afirmatia d) este ADEVARATA.
Metoda 2:
Determinam lungimea segmentelor:
AB=√[(xB-xA)²+(yB-yA)²]=√[(-2-1)²+(-4-3)²]=√(9+49)=√58
BC=√[(xC-xB)²+(yC-yB)²]=√[(5+2)²+(-1+4)²]=√(49+9)=√58
Deci, triunghiul ABC este isoscel cu baza AC.
Bisectoarea, mediana, mediatoarea si inaltimea corespunzatoare bazei unui triunghi isoscel coincid.
Determinam mijlocul segmentului AC.
Fie N mijlocul.
xN=(xA+xC)/2=(1+5)/2=3
yN=(yA+yC)/2=(3-1)/2=1
Deci, N(3,1).
Cum dreapta d intersecteaza AC in M(3,1), iar mijlocul segmentului AC este N(3,1), dreapta d este bisectoare.
Daca M nu ar fi fost acelasi cu N, atunci BN care ar fi fost mediana, nu ar fi fost si bisectoare.
Deci, afirmatia d) este ADEVARATA.
e)
Vedem care este ecuatia dreptei BC.
BC: (x-xB)/(xC-xB)=(y-yB)/(yC-yB)
BC: (x+2)/(5+2)=(y+4)/(-1+4)
BC: (x+2)/7=(y+4)/3
BC: 3(x+2)=7(y+4)
BC: 3x+6=7y+28
BC: 7y=3x-22
BC: y=3x/7-22/7
Deci, panta dreptei BC este mBC=3/7.
Dar, panta dreptei d este md=1.
Cum md nu este egal cu mBC, atunci d nu este paralela cu BC.
Deci, si afirmatia e) este FALSA.
Ramanem cu afirmatia D) care este cea corecta.
