Explicație pas cu pas:
Eu zic ca este o solutie mai usoara decat cea propusa in barem.
Construim functia: g:(0,pi)->IR, g(x)=ln(1+cosx)-cosx
De ce am luat asa? Pai noua ni se spune ca x este din (0,pi), deci automat domeniul de definitie al functiei este (0,pi). Codomeniul este o restrictie a lui IR, dar nu ne intereseaza asa tare si il luam IR. Forma functiei g(x) am ales-o trecand in membrul stang al inegalitatii termenul cosx.
Facem derivata functiei g.
g'(x)=-sinx/(1+cosx)+sinx=Aducem la acelasi numitor=(-sinx+sinx+sinxcosx)/(1+cosx)=sinxcosx/(1+cosx)
Rezolvam ecuatia g'(x)=0 pentru a depista eventualele punctele de extrem.
g'(x)=0
O fractie e 0 cand numaratorul este 0.
sinxcosx=0
Inmultim ecuatia cu 2:
2sinxcosx=0
Si am regasit formula pentru sin2x.
sin2x=0
2x∈{0,pi}
x∈{0,pi/2}
Dar cum x este din (0,pi), singura valoare pentru x pe care o putem alege pi/2.
x=pi/2
Facem tabel de semn:
x |0__________pi/2__________pi
g'|+++++++++++++0------------------------
g| crescatoare g(pi/2) descrescatoare
g(pi/2)=ln(1+cospi/2)-cos(pi/2)=ln(1+0)-0=ln1=0
Punctul (pi/2,0) este punct de maxim, deci:
g(x)≤g(pi/2)
ln(1+cosx)-cosx≤0
ln(1+cosx)≤cosx
Ceea ce s-a facut pe barem a fost acelasi lucru, pana la o idee.
La fel, determinam punctul de extrem.
f'(x)=-2x/(x+1)
Rezolvam ecuatia f'(x)=0.
O fractie e 0 cand numaratorul este 0.
-2x=0
x=0
Facem tabel de semn:
x |-1___________0____________inf
f' |++++++++++++++0--------------------------
f | crescatoare f(0) descrescatoare
f(0)=1
Punctul (0,1) este punct de maxim, deci:
f(x)<=f(0)
1-2x+2ln(1+x)<=1
Reducem 1:
-2x+2ln(1+x)<=0
2ln(1+x)<=2x
Impartim prin doi:
ln(1+x)<=x, pentru orice x>-1
Intervalul (0,pi) este o restrictie a intervalului (-1;inf), deci este inclus in acesta.
Cum x este din (0,pi) si cos descreste pe (0,pi), avem:
cosx<cos0, adica cosx<1
cosx>cospi. adica cosx>-1
Noi stim ca relatia ln(1+x)<=x este valabila pentru x>-1.
Relatia pe care exercitiul o cere este ln(1+cosx)<=cosx, deci practic este inlocuit x cu cosx. Ca relatia sa fie valabila, intr-adevar, trebuie sa avem cosx>-1. Dar tocmai asta am aratat mai sus.
Asadar, ln(1+cosx)<=cosx, pentru orice x din (0,pi).
