Explicație pas cu pas:
Pentru ca un numar sa fie divizibil cu 24, el trebuie sa fie divizibil cu [tex] 2^3*3 [/tex], pentru ca aceasta este descompunerea in factori primi a lui 24.
Pentru ca [tex] 24~|~a [/tex], atunci [tex] 2^3*3~|~a [/tex].
Stiind ca daca [tex] x^n~|~y [/tex], unde x, y si n sunt numere naturale, atunci [tex] x~|~y [/tex], este suficient sa aratam ca: [tex] 2*3~|~a [/tex].
Aducem numarul a la o forma mai simpla:
[tex]a=x^4+2x^3-x^2-2x\\a=x(x^3+2x^2-x-2)\\a=x[x^2(x+2)-(x+2)]\\a=x(x+2)(x^2-1)\\a=(x-1)x(x+1)(x+2)[/tex]
Observam ca a se scrie sub forma de produs de 4 numere consecutive.
Pentru a avea divizibilitatea cu 2, trebuie sa avem produs de doi factori consecutivi, ceea ce si avem..ba chiar un produs de 4 factori consecutivi.
Pentru a avea divizibilitatea cu 3, trebuie sa avem produs de trei factori consecutivi, ceea ce si avem..ba chiar un produs de 4 factori consecutivi.
Stiind ca daca [tex] x~|~y~si~z~|~y~si~(x,z)=1 [/tex], atunci avem si [tex] x*z~|~y [/tex].
Am aratat ca [tex] 2~|~a~si~3~|~a~si~(2,3)=1 [/tex]. Atunci avem si [tex] 2*3~|~a [/tex].
Deci, [tex] 2*3~|~a [/tex], adica [tex] 2^3*3~|~a [/tex], adica [tex] 24~|~a [/tex].
