👤
a fost răspuns

Sa se studieze existenta limitei:

[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{[x^3+3x]}{[x]^3+3[x]}[/tex]

[x] este partea intreaga a lui x
In cazul in care limita exista sa se determine valoarea sa

Răspuns :

RAYZENID

x³+3x-1 < [x³+3x] ≤ x³+3x (*)

x-1 < [x] ≤ x|³ => (x-1)³ < [x]³ ≤ x³ (**)

x-1 < [x] ≤ x => 3(x-1) < 3[x] ≤ 3x (***)

Adunăm (**) cu (***):

=> (x-1)³+3(x-1) < [x]³+3[x] ≤ x³+3x (****)

Împărțim (*) la (****):

=> (x³+3x-1)/((x-1)³+3(x-1)) < [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ (x³+3x)/(x³+3x)

=> (x³+3x-1)/((x-1)³+3(x-1)) < [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ 1

Trecem la limită:

=> lim x -> ꝏ (x³+3x-1)/((x-1)³+3(x-1)) < lim x -> ꝏ [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ 1

=> 1 < lim x -> ꝏ [x³+3x]/([x]^3+3[x]) ≤ 1

Din criteriul cleștelui:

=> lim x -> ꝏ [x³+3x]/([x]^3+3[x]) = 1

ALBATRANID

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

ptx∈N

avem lim((x³+3x)/(x³+3x))=1

fie x= n+a , a∈(0,1)

x³-1<[x³]<[x³+3x]≤x³+3x

x³-1<[x]³ <[x]³+3[x]<x³+3x

im ((x³-1)/(x³+3x)=1<limita respectiva <lim (x³+3x)/(x³-1))=1

cf.teoremei clestelui, limita este 1 si in acest caz

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari