👤
a fost răspuns

Bună !

Arătați că expresia:
20^n - 8^n - 5^n + 2^n este divizibilă cu 9.
​

Răspuns :

RAYZENID

Formulă:

[tex](a+b)^n = M_a+b^n[/tex]

[tex]M_a[/tex] înseamnă multiplu de a.

Rezolvare:

[tex]20^n-8^n-5^n+2^n =\\ \\ = 5^n\cdot 4^n-4^n\cdot 2^n-5^n+2^n = \\ \\ =4^n\cdot (5^n-2^n)-(5^n-2^n) = \\ \\ = (5^n-2^n)(4^n-1) =\\ \\ = \Big[(3+2)^n-2^n\Big]\Big[(3+1)^n-1\Big] = \\ \\ = \big(M_3+2^n-2^n\big)\big(M_3+1^n-1\big) = \\ \\ = (M_3+0)(M_3+0) = \\ \\ = M_3\cdot M_3 = \\ \\ = M_9[/tex]

⇒ Expresia [tex]20^n-8^n-5^n+2^n[/tex] este divizibilă cu 9.

ALBATRANID

Răspuns:

ASA ESTE!!!

Explicație pas cu pas:

4^n*5^n-2^n*4^n+2^n-5^n=4^n(5^n-2^n)-(5^n-2^n)=(4^n-1) (5^n-2^n)

4^n-1 = 4^n-1^n=(4-1)* (4^(n-1) +4^(n-2) +...+4+1) divizibil cu 3

5^n-2^n=(5-2) (5^(n-1) +5^(n-2)*2+...5*2^(n-2)+2^(n-1)) divizibil cu 3

deci produsul divizibil cu 3*3=9

as elegant as that!!

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari