👤
a fost răspuns

Calculați :
1 + 3cos x = cos 2x

Răspuns :

CINEVAFARANUMEID

Răspuns:

[tex]x \in \Big\{2k\pi + \frac{2\pi}{3}, 2k\pi - \frac{2\pi}{3}\Big|k\in \mathbb{Z}\Big\}[/tex]

Explicație pas cu pas:

[tex]1 + 3\cos x = \cos {2x}\\ \\ 1+3\cos x = 2cos^2 \:x - 1\\ \\ \textrm{Fie }y = \cos x\\ \\ 1 + 3y = 2y^2 - 1\\ \\ 2y^2 - 3y - 2 = 0\\ \\ \Delta = 9 + 4\cdot 4 = 9+16 = 25\\ \\ \sqrt{\Delta} = 5\\ \\ y_{1,2} = \frac{3\pm 5}{4} \\ \\ y_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\\ \\ y_2 = \frac{8}{4} = 2\\ \\ \cos x \in [-1,1]\implies y \in [-1; 1] \implies y = -\frac{1}{2}\\ \\ \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x \in \Big\{2k\pi + \frac{2\pi}{3}, 2k\pi - \frac{2\pi}{3}\Big|k\in \mathbb{Z}\Big\}[/tex]

MODFRIENDLYID

cos2x=2cos²x-1

1+3cosx=2cos²x-1

2cos²x-3cosx-2=0

Notam cosx=t

2t^2-3t-2=0

Δ=(-3)²-4·2·(-2)=9+16=25 ⇒√Δ=5

[tex]t_{1,2}=\frac{-(-3)\pm 5}{2\cdot2}\\ \\t_{1}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2>1, \ NU \ CONVINE \ t=cosx\in [-1;1]\\ \\t_{2}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}\\ \\ cos x=\frac{-1}{2}[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari