I = I₁ + I₂
I₁ = ∫₀ˡⁿ² (xeˣ)/(eˣ+1) dx
Integrăm prin părți:
I₁ = ∫₀ˡⁿ² x•(eˣ)/(eˣ+1) dx
I₁ = xln(eˣ+1)⎢₀ˡⁿ² - ∫₀ˡⁿ² ln(eˣ+1) dx
Facem schimbarea de variabilă în integrala ∫₀ˡⁿ² ln(eˣ+1) dx cu ln(eˣ+1) = t
⇒ eˣ+1 = eᵗ => eˣ = eᵗ-1 ⇒
⇒ eˣ dx= eᵗ dt
x = 0 ⇒ t = ln2
x = ln2 ⇒ t = ln3
⇒ ∫₀ˡⁿ² ln(eˣ+1) dx =
= ∫₀ˡⁿ² eˣln(eˣ+1)/eˣ dx =
= ∫ₗₙ₂ˡⁿ³ teᵗ/(eᵗ-1) dt = I₂
⇒ I₁ = xln(eˣ+1)⎢₀ˡⁿ² - I₂
⇒ I₁ + I₂ = xln(eˣ+1)⎢₀ˡⁿ²
⇒ I = ln(2)ln(3)
⇒ a) corect
