Salut :)
a) M = {n² | n ∈ N}
Elementele multimii sunt patrate perfecte,deci ultima lor cifra se va repeta la un moment dat.
Pentru n=0 avem n²=0 → n²/10 = 0
n=1 avem n²=1 → n²/10 = 1/10=0 rest 1
n=2 avem n²=4 → n²/10 = 4/10=0 rest 4
n=3 avem n²=9 → n²/10 = 9/10=0 rest 9
n=4 avem n²=16 → n²/10 = 16/10=1 rest 6
n=5 avem n²=25 → n²/10 =25/10=2 rest 5
n=6 avem n²=36 → n²/10 = 36/10=3 rest 6
si resturile incep sa se repete (pentru ca sunt multiplii numerelor de mai sus,deci la patrat vor avea aceeasi ultima cifra)
Deci multimea M va fi: M={0,1,4,5,6,9}
b) A=x²·3⁴⁸ + y²·2²⁵
x si y pot sa varieze foarte mult,deci singura metoda ar fi sa deducem ultima cifra a lui x²·3⁴⁸ si y²·2²⁵ .
U(3⁴⁸): (U-ultima cifra)
U (3¹) = 3
U(3²) = 9
U (3³) = 7
U (3⁴) = 1
U (3⁵) = 3
................ (se repeta)
→ ultima cifra a lui 3ⁿ se gaseste in multimea {1,3,9,7} cu 4 elemente
48:4 = 12 rest 0 → U(3⁴⁸) = 1
Stiind ca ultima cifra a lui x² apartine {0,1,4,5,6,9} → U(x²·3⁴⁸)=1·U(x²)
→ U(x²·3⁴⁸)apartine {0,1,4,5,6,9}
U(2²⁵) :
U(2¹) = 2
U(2²) = 4
U(2³) = 8
U(2⁴) = 6
U(2⁵) = 2
.............. (se repeta)
→ ultima cifra a lui 2²⁵ se gaseste in multimea {2,4,6,8} cu 4 elemente
25:2 = 12 rest 1 → U(2²⁵) = 2
Stiind ca ultima cifra a lui y² apartine {0,1,4,5,6,9} → U(y²·2²⁵)=2·U(y²)
deci y²·2²⁵apartine ultimelor cifre ale nr din {0·2,1·2,4·2,5·2,6·2,9·2}
→ U(y²·2²⁵) ∈ {0,2,8}
Avem multimile {0,1,4,5,6,9} si {0,2,8}
5| A → U(A) ∈ {0,5}
a) U(A)=0 → U(x²·3⁴⁸ + y²·2²⁵) = 0 deci singurele combinatii ar fi :
I : 0+0=0 → U(x²·3⁴⁸ ) =0 → U(x²)·1 = 0 → U(x²) = 0 →10 | x ↔ 5 | x (1)
U( y²·2²⁵) = 0 → U(y²)·2 = 0 → U(y²) = 0 →10 | y ↔ 5 | y (2)
II : 5+0=5 → U(x²·3⁴⁸ ) = 5 → U(x²)·1 = 5 → U(x²) = 5 → 5 | x (3)
U( y²·2²⁵) = 0 → U(y²)·2 = 0 → U(y²) = 0 → 10 | y ↔ 5 | y (4)
b) U(A) = 5 → U(x²·3⁴⁸ + y²·2²⁵) = 5 deci singurele combinatii ar fi :
I: 5+0=5 (pe care am discutat-o la pct. a)
Din (1) (2) (3) si (4) ⇒ x si y sunt divizibile cu 5
