Metoda 1:
Dacă numărul este divizibil cu 5 înseamnă că ultima cifra trebuie să fie 0 sau 5.
[tex]\\U(7\cdot 32^{37}-7^{14}) = U(7\cdot 2^{37} - 7^{14}) = \\ \\ = U(7\cdot 2^{36}\cdot 2-49^{7}) = U(7\cdot 4^{18}\cdot 2 - 9^{7}) = \\ \\ = U(7\cdot 16^9\cdot 2 - 9^{6}\cdot 9) = U(7\cdot 6\cdot 2-81^3\cdot 9) = \\ \\= U(7\cdot 12-1\cdot 9) = U(7\cdot 2-9) = U(14-9) = 5 \\ \\ \Rightarrow 7\cdot 32^{37}-7^{14}\,\,\vdots\,\,\,5\\ \\[/tex]
Metoda 2:
Formulă:
[tex](a+b)^n = M_{a}+b^n\\ \\ M_{a} -\text{ inseamna multiplu de a.}\\\\[/tex]
Rezolvare:
[tex]7\cdot 32^{37} - 7^{14} =(5+2)\cdot(30+2)^{37}-(5+2)^{14} = \\ \\ = (M_{5}+2)\cdot(M_{5}+2^{37})-(M_{5}+2^{14}) = \\ \\ = M_{5}+2^{37}\cdot M_{5}+2\cdot M_{5}+2^{38}-M_{5}-2^{14} = \\ \\ = M_{5}+2^{38}-2^{14} = \\ \\ = M_{5}+2^{14}\cdot(2^{24}-1) = \\ \\ =M_{5}+2^{14}\cdot (4^{12}-1) = \\ \\ =M_{5}+2^{14}\cdot\Big[(5-1)^{12}-1\Big] = \\ \\ =M_{5}+2^{14}\cdot \Big[M_{5}+(-1)^{12}-1\Big] = \\ \\ = M_{5}+2^{14}\cdot (M_{5}+1-1) = \\ \\ = M_{5}+2^{14}\cdot M_{5}=\\ \\ = M_{5}\quad \checkmark[/tex]
[tex]Un \ numar \ este \ divizibil \ cu \ 5 \ daca \ are \ ultima \ cifra \ 0 \ sau \ 5\\ \\ Verificam \ daca \ 7\cdot 32^{37}-7^{14} \ este \ divizibil \ cu \ 5, \ calculandu-i \ ultima \ cifra\\ \\ U(7\cdot 32^{37}-7^{14})=U[ \ U(7\cdot 2^{37})-U(7^{14})]=\\ \\ (U(2^1)=2\\ \\ U(2^2)=4\\ \\ U(2^3)=8\\ \\ U(2^4)=6\\ \\ U(2^5)=2;\ Observam \ ca \ incepe \ sa \ se \ repete\\ \\ U(2^{37} )=U(2^{4\cdot 9 +1})=U(2^1)=2\\ \\ U(7\cdot 2^{37}=U(7\cdot 2)=U(14)=4\\ \\U(7^1)=7\\ \\ U(7^2)=9\\ \\ U(7^3)=3\\ \\ U(7^4)=1\\ \\ U(7^5)=7; \ Observam \ ca \ se \ repeta\\ \\ U(7^{14})=U(7^{4\cdot 3 +2})=U(7^2)=9\\ \\ \\ \\ U[ \ U(7\cdot 2^{37})-U(7^{14})]=U(4-9)=U(-5)=5\\ \\ Cum \x=7\cdot 32^{37}-7^{14} \ are \ ultima \ cifra \ 5 \Rightarrow \ e \ divizibil \ cu \ 5[/tex]
