👤
ANDREY44XDID
a fost răspuns

Aratati ca numarul N = 1+3+5+7...+999 este patratul unui numar natural.Cum se rezolva problema asta?

Răspuns :

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Progresie aritmetica

a1 = 1

an = 999

r = 2

an = a1 + (n-1)r

999 = 1 + 2(n - 1) = 1 + 2n - 2 = 2n - 1

n = (999 + 1)/2 = 1000/2 = 500 (numarul termenilor din suma)

N = 500 (1 + 999)/2 = 1000*250 = 10000*25 = 100^2 * 5^2 = (100*5)^2 = 500^2, deci patratul lui 500 care este numar natural

RAYZENID

1 = [(1+1)/2]²

1+3 = 4 = [(3+1)/2]² = 2²

1+3+5 = 9 = [(5+1)/2]² = 3²

1+3+5+7 = 16 = [(7+1)/2]² = 4²

⋮

1+3+5+7+...+n = [(n+1)/2]² (formulă)

Demonstrez prin inducție matematică.

P(n) = 1+3+5+7+...+n = [(n+1)/2]²

P(n+2) = 1+3+5+7+...+n+(n+2) = [(n+2+1)/2]² = [(n+3)/2]²

P(1), P(3), P(5) și P(7) au fost deja demonstrate anterior.

P(k) = 1+3+5+7+...+k= [(k+1)/2]²

P(k+2) = 1+3+5+7+...+k+(k+2) = [(k+1)/2]² + k+2 =

= (k+1)²/4 + k+2 = [(k+1)²+4k+8]/4 = [(k²+6k+9)/4] = [(k+3)/2]²   (A)

⇒ 1+3+5+7+...+999 = [(999+1)/2]² = (1000/2)² = 500²

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Nu ezitați să ne contactați pentru orice întrebare sau dacă aveți nevoie de asistență suplimentară. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


ID Learners: Alte intrebari