Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Deoarece tangentele la grafic sunt paralele dreptei y=2x+4, atunci f'(x0)=2.
a) Aflăm numărul punctelor de tangenţă, conform condiţiei.
[tex]f'(x_{0})=(\frac{1}{3}x_{0}^{3}+x_{0}^{2}-2x_{0}-2)'=x_{0}^{2}+2x_{0}-2.\\Deci~x_{0}^{2}+2x_{0}-2=2,~x_{0}^{2}+2x_{0}-4=0,~delta=2\sqrt{5},~atunci~x_{0}=-1-\sqrt{5}~sau~x_{0}=-1+\sqrt{5}.\\[/tex]
Deci reprezentarea grafică a funcţiei admite două tangente paralele cu dreapta de ecuatie y=2x+4
b) ecuatia tangentei y=f(x0)+f'(x0)*(x-x0), unde x0 sunt abscisele punctelor de tangenta la graficul functiei f(x).
Aflăm ecuaţiile tangentelor:
[tex]1) x_{0}=-1-\sqrt{5},~atunci~f( x_{0})=-\frac{1}{3}*(1+\sqrt{5})^{3}+(1+\sqrt{5})^{2}+2*(1+\sqrt{5})-2=-\frac{1}{3}*(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})^{2}+1+2\sqrt{5}+5+2+2\sqrt{5}-2=\frac{2+4\sqrt{5} }{3};\\Atunci~y_{1}=\frac{2+4\sqrt{5}}+2(x+1+\sqrt{5})=2x+\frac{8+10\sqrt{5} }{3}.\\Pentru x_{0}=-1+\sqrt{5},~f(x_{0})=\frac{2-4\sqrt{5} }{3},~atunci\\y_{2}=\frac{2-4\sqrt{5} }{3}+1*(x+1+\sqrt{5})=2x+\frac{8+10\sqrt{5} }{3}.[/tex]
