Explicație pas cu pas:
Pct a)
Folosim formulele:
[tex] ln1=0 [/tex]
[tex] lne=1 [/tex]
[tex] lne^a=alne=a [/tex]
Calculam [tex] f(1) [/tex]. Inlocuim [tex] x [/tex] cu [tex] 1 [/tex] in forma functiei f si avem:
[tex] f(1)=\frac{1+ln1}{1-ln1}=\frac{1+0}{1+0}=1 [/tex]
Calculam [tex] f(e^2) [/tex]. Inlocuim [tex] x [/tex] cu [tex] e^2 [/tex] in forma functiei f si avem:
[tex] f(e^2)=\frac{1+lne^2}{1-lne^2}=\frac{1+2lne}{1-2lne}=\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3 [/tex]
Sumam cele doua rezultate:
[tex] f(1)+f(e^2)=1+(-3)=1-3=-2 [/tex]
Pct b)
Calculam f'. Folosim formulele:
[tex] [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} [/tex]
[tex] [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) [/tex]
[tex] 1'=0 [/tex]
[tex] (lnx)'=\frac{1}{x} [/tex]
[tex] f'(x)=(\frac{1+lnx}{1-lnx})'= [/tex] [tex] \frac{(1+lnx)'*(1-lnx)-(1+lnx)*(1-lnx)'}{(1-lnx)^2}= [/tex] [tex] \frac{\frac{1}{x}(1-lnx)-(1+lnx)*(-\frac{1}{x})}{(1-lnx)^2}= [/tex] [tex] \frac{\frac{1}{x}(1-lnx)+(1+lnx)*\frac{1}{x}}{(1-lnx)^2}= [/tex] [tex]\frac{\frac{1}{x}(1-lnx+1+lnx)}{(1-lnx)^2}= [/tex] [tex] \frac{\frac{2}{x}}{(1-lnx)^2}=\frac{2}{x(1-lnx)^2} [/tex]
Pct c)
Fie [tex] y=a [/tex] asimptota orizontala la [tex] \infty [/tex].
Folosim regula lui l'Hopital: In cazul nedeterminarilor [tex] \frac{0}{0} [/tex] sau [tex] \frac{\infty}{\infty} [/tex], valorea limitei raportului f(x) pe g(x) este egal cu valoarea raportului limitei f'(x) pe g'(x).
[tex] a=\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1+lnx}{1-lnx}=Suntem~in~cazul~\frac{\infty}{\infty}~si~aplicam~l'Hopital=\lim_{x \to \infty} \frac{(1+lnx)'}{(1-lnx)'}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}*\frac{x}{-1}=-1 [/tex]
Cum a este numar real, atunci avem asimptota orizontala la infinit.
Deci, [tex] y=-1 [/tex] asimptota orizontala la [tex] \infty [/tex].
Daca avem asimptota orizontala, atunci asimptota oblica nu exista.
