Metoda fortelor (simpla si rapida).
Conditie. Ca viteza sa atinga un maxim, trebuie ca acceleratia la momentul respectiv sa se anuleze. De ce? Daca acceleratia ar fi pozitiva, atunci viteza ar creste deci nu se atinge un maxim.
Ce viteză maximă poate atinge vehiculul? Scriem aceasta conditie in legea fundamentala a dinamicii:
[tex]\vec{F_r}+\vec{F_t}=m\vec{a}=\vec{0}, \text{ unde }\vec{F_t}\text{ este forta de tractiune/motoare}\\\iff fmg=P/v \:(\text{fiindca }P=\vec{F}\cdot \vec{v}=Fv)}[/tex]
[tex]\iff v=\dfrac{P}{fmg}=100\:m/s[/tex]
Ce accelerație are in momentul când viteza v= 20 m/s?
[tex]P/v-fmg=ma\implies a=P/(mv)-fg=0,804\:m/s^2[/tex]
Metoda Energetica cu marimi mici.
Intr-un interval foarte scurt de timp [tex]\delta t[/tex] (in care putem considera viteza practic constanta, [tex]v(t)[/tex], mobilul dezvolta un lucru mecanic [tex]\delta L_m=P\delta t[/tex] (unde indicele m se refera la motor). In acelasi interval de timp, sa calculam lucrul mecanic al fortelor de rezistenta: [tex]\delta L_r=-F_r\cdot d=-F_rv(t)\delta t[/tex]. Lucrul mecanic total efectuat asupra mobilului in timpul [tex]\delta t[/tex], ca functie de [tex]v=v(t)[/tex] (viteza la momentul [tex]t[/tex], timpul scurs de la inceperea miscarii), este
[tex]\delta L=\delta L_m+\delta L_r=P\delta t-F_rv\delta t[/tex]
[tex]\dfrac{F_r}{mg}=f\implies \delta L(t)=[P-fmg\cdot v]\delta t[/tex]
Variatia energiei cinetice a vehiculului in acest interval [tex]\delta t[/tex] va fi egal cu lucrul mecanic efectuat:
[tex]\delta E=(P-fmgv)\delta t[/tex]
Pe de alta parte, variatia energiei cinetice mai este egala si cu:
[tex]\delta E=\dfrac{1}{2}m[v+\delta v]^2-\dfrac{1}{2}mv^2\\\delta E=\dfrac{1}{2}m(2v\delta v+\delta v^2)[/tex]
In mod practic, daca intervalul de timp [tex]\delta t[/tex] este foarte mic:
[tex]\delta v\ll v\iff\delta v^2\ll 2v\delta v\iff\delta E\approx\dfrac{1}{2}m(2v\delta v)=mv\delta v[/tex]
Egaland cele doua expresii, vom obtine:
[tex](P-fmgv)\delta t=mv\delta v[/tex]
Utilizam conditia impusa la rezolvarea anterioara (sau, este suficient sa impunem doar conditia [tex]\delta v=0[/tex], deoarece atunci cand atinge un maxim, viteza inceteaza sa mai varieze - fapt ce se poate demonstra imediat): [tex]a=0\iff \dfrac{\delta v}{\delta t}=0\implies P-fmgv=0\implies v=\dfrac{P}{fmg}[/tex]
Pentru a doua intrebare, rearanjam ecuatia:
[tex]P-fmgv=mv(\delta v/\delta t)=mva\implies a=P/(mv)-fg[/tex]
Nota: Cele doua rezolvari sunt complet echivalente, sunt 2 moduri diferite de a scrie practic aceleasi legi. Cea de-a doua rezolvare e mult mai complicata decat prima, care da rezultate imediate, insa eu zic ca metoda 2 este un mod bun de a verifica conditiile impuse la metoda 1.
