Explicație pas cu pas:
Teorie:
Fie [tex] \vec{v} [/tex] un vector oarecare nenul dintr-un spatiul vectorial nenul.
Definitie: Norma este o funcție care atribuie o marime strict pozitiva fiecarui vector nenul [tex] \vec{v} [/tex] din spatiul vectorial din care face parte.
Observatie: Vectorul nul, prin conventie, are lungimea 0.
Formule:
Fie [tex] \vec{v} [/tex] un vector oarecare nunul dintr-un spatiul vectorial nenul.
- [tex] ||\vec{v}||=\sqrt{<\vec{v},\vec{v}>} [/tex]
- [tex] ||\vec{v}||^2=<\vec{v},\vec{v}> [/tex]
Fie [tex] \vec{a} [/tex] si [tex] \vec{b} [/tex] doi vectori nenuli oarecare dintr-un spatiul vectorial nenul.
Definitie: Definim numarul [tex] <\vec{a},\vec{b}> [/tex] ca fiind produsul scalar al vectorului [tex] \vec{a} [/tex] cu vectorul [tex] \vec{b} [/tex], ce este caracterizat de formula: [tex] <\vec{a},\vec{b}>=||\vec{a}||*||\vec{b}||*cos(\prec \vec{a},\vec{b}) [/tex].
Formule:
Fie [tex] \vec{a} [/tex], [tex] \vec{b} [/tex], [tex] \vec{c} [/tex] si [tex] \vec{d} [/tex] patru vectori nenuli oarecare dintr-un spatiul vectorial nenul si [tex] \alpha [/tex], [tex] \beta[/tex], [tex] \delta[/tex] si [tex] \epsilon[/tex] patru numere reale nenule.
- [tex]<\vec{a},\vec{b}>=<\vec{b},\vec{a}>[/tex]
- [tex]<\alpha \vec{a},\beta \vec{b}>=\alpha \beta <\vec{a},\vec{b}>[/tex]
- [tex]<\alpha \vec{a}+ \delta \vec{d},\beta \vec{b}+ \epsilon \vec{e}>=<\alpha \vec{a},\beta \vec{b}>+<\alpha \vec{a},\epsilon \vec{e}>+< \delta \vec{d},\beta \vec{b}>+< \delta \vec{d}, \epsilon \vec{e}>[/tex]
Rezolvare:
[tex]||\vec{v}||=\sqrt{<3\vec{a}-\vec{b},3\vec{a}-\vec{b}>}=\sqrt{<3\vec{a},3\vec{a}>+<3\vec{a},-\vec{b}>+<-\vec{b},3\vec{a}>+<-\vec{b},-\vec{b}>}=\sqrt{3*3<\vec{a},\vec{a}>-3<\vec{a},\vec{b}>-3<\vec{b},\vec{a}>+(-1)*(-1)<\vec{b},\vec{b}>}=[/tex][tex]\sqrt{9||\vec{a}||^2-3<\vec{a},\vec{b}>-3<\vec{a},\vec{b}>+||\vec{b}||^2}=\sqrt{9*1^2-6<\vec{a},\vec{b}>+2^2}=[/tex][tex]\sqrt{13-6*||\vec{a}||*||\vec{b}||*cos(\prec \vec{a},\vec{b})}=\sqrt{13-6*1*2*\frac{\sqrt3}{2}}=\sqrt{13-6\sqrt3}[/tex]
