Explicație pas cu pas:
Avem punctele [tex]A_m(m,m^2)[/tex], [tex]A_n(n,n^2)[/tex] si [tex]A_p(p,p^2)[/tex].
Calculam aria triunghiului format de cele trei puncte:
[tex]A=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{ccc}m&m^2&1\\n&n^2&1\\p&p^2&1\end{array}\right||[/tex]
Facem operatiile pe liniile: [tex] L_2=L_2-L_1 [/tex] si [tex] L_3=L_3-L_1 [/tex].
[tex]A=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{ccc}m&m^2&1\\n&n^2&1\\p&p^2&1\end{array}\right||=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{ccc}m&m^2&1\\n-m&n^2-m^2&0\\p-m&p^2-m^2&0\end{array}\right||[/tex]
Facem calcule:
[tex]A=\frac{1}{2}|(n-m)(p^2-m^2)-(p-m)(n^2-m^2)|=\frac{1}{2}|(n-m)(p-m)(p+m)-(p-m)(n-m)(n+m)|=\frac{1}{2}|(n-m)(p-m)(p+m-m-n)|=\frac{1}{2}|(n-m)(p-m)(p-n)|[/tex]
Am ajuns la ideea ca aria este jumatate din valoarea unui modul. Conditia ca aria sa fie pozitiva este indeplinita, intrucat valoarea modulului este pozitiva.
Ramane doar sa demonstram ca modulul este un numar par. Este suficient ca doar una dintre diferente sa fie para.
Analizam pe cazuri.
1) Daca toate cele trei valori sunt numere naturale pare, atunci evident diferenta a oricaror doua valori este numar par. Asadar, avem macar o diferenta para.
2) Daca toate cele trei valori sunt numere naturale impare, atunci evident diferenta a oricaror doua valori este numar par. Asadar, avem macar o diferenta para.
3) Daca doar doua valori sunt numere naturale pare, atunci evident diferenta lor este numar par. Asadar, avem macar o diferenta para.
4) Daca doar doua valori sunt numere naturale impare, atunci evident diferenta lor este numar par. Asadar, avem macar o diferenta para.
Deci, oricum am lua m, n si p din IN, macar una dintre diferentele prezente in formula ariei este para.
In concluzie, aria este un numar natural, indiferent de numerele m, n sau p.
